B樹

• 前幾篇文中討論的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)我們都是假設(shè)所有的數(shù)據(jù)都存儲在計算機的主存中。可說總要那么海量的數(shù)據(jù)需要通過個中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)去存儲，我們不可能有這么多內(nèi)存區(qū)存放這些數(shù)據(jù)。那么意味著我們需要將他們放磁盤。所以這個時候范問時間復雜度O決定了他是否能適合存儲磁盤，大O模型不適用于磁盤存儲。游戲規(guī)則變了。

• 在磁盤中操作速度和CPU內(nèi)存計算速度相差甚遠。

  • 例如一臺機器每秒可以執(zhí)行5億條指令。
  • 磁盤讀寫操作依賴磁盤的機械運動，磁盤轉(zhuǎn)動，磁針移動，也許磁盤7200RPM的轉(zhuǎn)速，1轉(zhuǎn)大約1/120秒，約8.3ms，我們就估算是8.3
  • 每秒大概120次磁盤訪問
  • 但是1分鐘7200轉(zhuǎn)比起每秒5億簡直不是一個量級，比值相當于 40W：1
  • 方法是盡量減少磁盤的操作，寧愿大量計算
  • 對于樹來說，一個節(jié)點存在幾個子節(jié)點，我們在內(nèi)存中通過指針尋址，但是在磁盤中需要機械運動尋址

案例

• 我們通過一個案例來結(jié)束典型查找樹的執(zhí)行方式：
  • 假設(shè)要訪問廣東市所有人的出行記錄。假設(shè)只有1kw項數(shù)據(jù)。每個關(guān)鍵字32字節(jié)（是這個人的名字+唯一id），而一個記錄存儲這N個信息是256個字節(jié)。假設(shè)這些1kw數(shù)據(jù)不能都存儲進主內(nèi)存
  • 更具如上計算，我們

解決方法

• 不平衡的二叉查找樹解決如上問題完全不可取，最壞情況他有線性深度，從而可能需要1kw次磁盤的范問。平均的話一次成功的查找也需要1.38logN次范圍，由于log10000000 =24 ，1.38*24 = 32/6 = 5秒。AVL樹多少要好一點，1.44logN是最壞情況，平均訪問是logN，擇優(yōu)AVL計算平均25次磁盤查詢一個數(shù)據(jù)，4秒左右

• 要減少磁盤范問次數(shù)，比如減到3,4。我們需要更加復雜的程序。因為機器指令相對機械操作相當于不耗時。以上分析我們知道二叉樹不可行，減少樹層級增加節(jié)點分支的方式來解決。

• 31個節(jié)點的完美二叉樹有5層，31個節(jié)點的5叉樹只有3層

• 一個完全二叉樹的高度大概是log2^N，而一顆完全M叉樹的高度大概是LogM^N

• 我們建立與二叉樹類似的M叉查找樹，二叉樹中我們需要一個key來決定走左樹還是右樹，M叉樹我們需要M-1個key來決定

• 同時避免M叉樹退化成鏈表，我們需要給一個平衡條件，限制M叉樹退化到二叉樹，那就是B樹如下性質(zhì)

• 階為M的B樹是一顆具有下列特性的樹：

  • 數(shù)據(jù)項存儲在葉子節(jié)點上
  • 非葉子節(jié)點存儲直到M-1個關(guān)鍵字用來指示搜索方向；關(guān)鍵字i代表子樹i+1中最小關(guān)鍵字
  • 數(shù)的根節(jié)點如果不是葉子節(jié)點，那么他子節(jié)點個數(shù)必須在2~M之間
  • 除了根節(jié)點外，所有非葉子節(jié)點的子節(jié)點個數(shù)必須在M/2~M個之間
  • 所有葉子節(jié)點都在相同的深度上，并且有L/2和L個數(shù)據(jù)項目，L個數(shù)之后確認

• 如下圖5階B樹的案例，所有非葉子節(jié)點的兒子樹都在3~5之間（5/2 ~ 5 取整 3-5），那么他們有2-4個關(guān)鍵字；根可能只有2個子節(jié)點。這里我們L=5，所有葉子節(jié)點的數(shù)據(jù)項則是（5/2 ~5 取整 3-5 之間）

  • 要求節(jié)點半滿保證B樹不退化到簡單二叉樹
    

B樹結(jié)構(gòu)分析

• 我們根據(jù)所存儲的項的大小選擇M與L的大小，還是上面的案例，我們假設(shè)一個區(qū)塊的磁盤大小是8192Byte，
• 每個關(guān)鍵字32Byte，在一顆M階B數(shù)中，有M-1個關(guān)鍵字那么總數(shù)是32（M-1），再加上M個分支（指針int型4Byte），總數(shù)則為32（M-1）+4M = 36M-32
• 那么一個片區(qū)8192可以存儲的最大節(jié)點數(shù)據(jù)是8192= (36M-32) , M = 228階，也就是我們每一層有228個分支
• 以上案例中條件說一個記錄256Byte，8192/256 = 32 ，一個片區(qū)可以存儲32個記錄，我們選擇L=32，這樣一個子節(jié)點中所有數(shù)據(jù)可以在同一個片區(qū)（盡量一次磁盤操作可以讀完）
• 這樣我們保證了每個葉子節(jié)點有16~32個數(shù)據(jù)記錄以及每個內(nèi)部節(jié)點至少有228/2 = 114 中分支方式
• 那么1kw個數(shù)據(jù)最多存儲的葉子節(jié)點個數(shù) 10000000/16 = 625000 個葉子節(jié)點中
• 層級最少情況，每一層都是滿分支（228），625000/228 = 224 /228 = 1，最少的情況第二次就是葉子節(jié)點
• 層級最多情況，每一層都是半分支（228/2=114），625000/114 = 5482.4/114=48/1154 = 1 ，最多情況第四層是葉子節(jié)點
• 如上分析，最壞情況訪問次數(shù)近似log(m/2)^N給出

構(gòu)造B樹–添加節(jié)點，刪除節(jié)點

插入節(jié)點

• 我們按照上面圖片中的案例，需要將57 插入到圖中的B樹，沿著樹向下查找他不在樹中，我們把它作為第五項數(shù)據(jù)添加到第對應(yīng)的葉子節(jié)點中如下圖：
  

方法一

• 如上更新數(shù)據(jù)分為三步：
  • 第一遍歷B樹，找到插入數(shù)據(jù)的對應(yīng)位置
  • 讀取樹葉節(jié)點中數(shù)據(jù)并且重排樹葉節(jié)點中數(shù)據(jù)
  • 將重排的數(shù)據(jù)寫入樹葉節(jié)點
• 與磁盤的操作相比，這些邏輯排列時間幾乎可以忽略不計，以上是簡單的模式，因為改樹葉節(jié)點并沒有被裝滿，現(xiàn)在我們在插入55 到上圖中。
  • 55要插入的那個葉子節(jié)點已經(jīng)滿，有L+1項數(shù)據(jù)，我們需要將他分成兩個葉子節(jié)點，這兩葉子節(jié)點能保證所有需要的記錄的最小個數(shù)，每一個葉子節(jié)點3個項（需要兩次磁盤范問）
  • 接著我們需要更新父節(jié)點，將最小的值添加到父節(jié)點中（需要一次寫入的磁盤操作），這種方式是更具上面L/2的規(guī)則執(zhí)行
  • 雖然分離節(jié)點是耗時的，至少需要2次磁盤操作，但是很少發(fā)生，比如我們上面L=32 時候每次節(jié)點分裂時候都有16 或者17 項數(shù)據(jù)的兩片葉子節(jié)點，那么我們需要之后的17次添加操作才會有一次分裂

• 如上圖情況，當一個非葉子節(jié)點分裂，父節(jié)點得到一個新的子節(jié)點，父節(jié)點也需要增加一個項，如果父節(jié)點此時也達到分裂閥值，則需要繼續(xù)向上分裂直到達到根節(jié)點。如果分裂根就得到兩個根，這顯然不現(xiàn)實，我們則創(chuàng)建一個新根，這個根以分裂得到的兩個新根為子節(jié)點，所以我們的根節(jié)點的子節(jié)點的個數(shù)設(shè)置在2~M個是有這個原因的。
• 這種方式也是B樹增加高度的唯一方式

方法二

• 在相鄰節(jié)點有空間時候，將一個子節(jié)點交給鄰節(jié)點，例如將上圖中29 節(jié)點插入到B樹中，我們可以把32移到 下一片樹葉而騰出一個空間來，這種方法要求對父節(jié)點進行修改，因為這些關(guān)鍵字也會受影響，他趨向于是的節(jié)點達到滿節(jié)點，更加節(jié)省空間。

刪除節(jié)點

• 通過查找到要刪除的項并在找到后刪除他來執(zhí)行刪除操作，問題在于，如果被刪元素的總元素個數(shù)已經(jīng)低于最小值（L/2），那么刪除后他的項目就不符合B樹的要求，我們可以通過在鄰節(jié)點借一個節(jié)點來矯正這種情況，如果鄰節(jié)點也達到最小值（L/2），那么我們就合并這兩個葉子節(jié)點結(jié)合成一個新的滿葉節(jié)點。
• 這種操作意味著父節(jié)點是去一個兒子，如果失去兒子節(jié)點后又引發(fā)兒子節(jié)點數(shù)低于下限，我們繼續(xù)使用相同的策略，一直到根節(jié)點，如果這個過程使得根只剩下一個子節(jié)點，那么刪除這個根節(jié)點，讓原兒子節(jié)點當現(xiàn)在B樹的新根節(jié)點。
• 這種方式是B樹降低高度的唯一方式。
• 如下案例，我們還是依照上圖中的B數(shù)，刪除99 項的節(jié)點，由于葉子節(jié)點只有兩個，而其鄰節(jié)點以及是最小值3 個了，因此，我們將這兩個葉子節(jié)點合并成有5項數(shù)據(jù)的一片新的葉子節(jié)點。結(jié)果他的父節(jié)點只有兩個子節(jié)點，此時父節(jié)點繼續(xù)上一個步驟，從鄰節(jié)點領(lǐng)養(yǎng)，鄰節(jié)點有4個子節(jié)點，最終使用雙方都得到3個子節(jié)點，如下圖：
  

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總結(jié)

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