什么是拓展歐幾里得？簡單的說，就是求關(guān)于x,y的方程 ax + by = gcd(a,b) 的所有整數(shù)解

現(xiàn)在我們令g = gcd(a,b)則方程變成了ax + by = g
假如我們現(xiàn)在知道了關(guān)于這個方程的一個特解x0, y0，我們就可以用一種方法求出所有的整數(shù)解。
說的比較模糊，現(xiàn)在整理一下。
上面提到了兩個問題
一、怎么求出這個特解？
二、怎么由特解推出其它的所有解？

一、求特解
我們知道，歐幾里得公式可以由這個式子表示：
gcd(a,b) = gcd(b, a%b)
不斷往下連等，直到b = 0，此時a即為最大公約數(shù)
那么我們來討論另一個問題，下面兩個式子有沒有關(guān)系呢？

a * x1 + b * y1 = g(a,b)
b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b)
我可以告訴你，只要找出x1和x2的關(guān)系、y1和y2的關(guān)系，我們就能求出方程a * x + b * y = g的一個特解

回到剛才那個問題，很顯然，兩個等式右邊就是歐幾里得的公式
那么我們就能得出
a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a%b) * y2
其中a%b可以換成a-(a/b)*b
式子變成了
a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a - (a / b) * b) * y2
因為我們要找x1 y1和x2 y2的關(guān)系
我們可以用待定系數(shù)法，按照這種方法把右邊化成b * (x2 - (a / b) * y2) + a * y2
則等式變成了
a * x1 + b * y1 = a * y2 + b * (x2 - (a / b) * y2) ? ? ?(上面的過程最好動手演算)
好，我們現(xiàn)在得出了下面兩個等式：
x1 = y2（等式兩邊a的系數(shù)相同）
y1 = x2 - (a / b) * y2 （等式兩邊b的系數(shù)相同）
也就是說，我們知道了方程b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b) 的解x2, y2，就可以得到方程a * x1 + b * y1 = g(a,b) 的解x1,y1了，這個小問題告一段落。

對于方程a * x + b * y = gcd(a,b)，我們可以不斷的往下變成b * x + (a % b) y = gcd(a,b) ，按照歐幾里得的過程，b會變成0，即此時方程a * x + b * y = gcd(a,b) 因為b = 0，變成了a * x = gcd(a,b) ，還是由歐幾里得算法得到，此時a就等于gcd(a,b)，所以得到由原方程往下推了不知道多少次的方程 a * x = gcd(a,b) 來說，得到一個解x = 1, y = 0。現(xiàn)在得到了這個方程的解，再回溯回去，就可以得出原方程 a * x + b * y = gcd(a,b) 的一個特解。

OK，這個問題解決了。

二、怎么利用特解推出其他所有整數(shù)解？
先說結(jié)論：
對于關(guān)于x，y的方程a * x + b * y = g 來說，讓x增加b/g，讓y減少a/g，等式兩邊還相等。（注意一個增加一個減少）
為什么呢？
這個很容易得到，我們算一下即可。
讓x增加b/g，對于a * x這一項來說，增加了a * b / g，可以看出這是a,b的最小公倍數(shù)
同樣，對于b * y這一項來說，y 減少 a/b，這一項增加了a * b / g，同樣是a,b的最小公倍數(shù)。
可以看出，這兩項一項增加了一個最小公倍數(shù)，一項減少了一個最小公倍數(shù)，加起來的和仍然等于g。
這樣我們就明白了，其實這種操作就是增加一個最小公倍數(shù)，減少一個最小公倍數(shù)，這樣來改變x,y的值，來求出所有x,y的通解的。

那為什么改變的是最小公倍數(shù)而不是更小的數(shù)呢？因為是 最小 公倍數(shù)呀…不會再找到更小的值了，這個自行體會吧…

到這里為止，開頭提出的兩個問題都已經(jīng)解決。
也就是說，對于方程a * x + b * y = gcd(a,b)，我們能找出所有符合條件的解了。而且，還可以告訴你，這個方程是一定有無數(shù)個解的。

那么來一個更一般的問題，對于方程a * x + b * y = c 來說，它的解怎么求呢？
答：如果c % gcd(a,b) != 0，即c不是gcd的整數(shù)倍，則無解。
如果c % gcd(a,b) == 0 且 c / gcd(a,b) = t，那么求出方程 a * x + b * y = gcd(a,b)的所有解x,y，將x,y乘上t，對應(yīng)的x’,y’即是方程a * x + b * y = t * gcd(a,b)的解
很好理解，就不解釋了，仔細看上面的這段話就能理解

附上拓展歐幾里得的代碼
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void exgcd(int a, int b, int &gcd, int &x, int &y) {if (b){exgcd(b, a % b, gcd, y, x);y -= x * (a / b)}else{x = 1;y = 0;gcd = a;} } 或是 void exgcd(int a, int b,int &x, int &y) {if (b){exgcd(b, a % b, gcd, y, x);y -= x * (a / b)}else{x = 1;y = 0;} }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的拓展欧几里得小结（初级理解）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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