抽屜原理的應用及其推廣優秀畢業論文

抽屜原理的應用及其推廣 數學與計算機科學學院 數學與應用數學 指導老師： 王美能 摘要：抽屜原理也叫鴿巢原理，是研究如何將元素分類的一個原理，也是組合數學里最簡單、最基本的原理。本文簡述了抽屜原理普遍使用的簡單形式，重點介紹了抽屜原理在我們數學競賽，通過由淺到深，由簡單到復雜，循序漸進的了解抽屜原理。同時，通過對抽屜原理的學習，我們可以發現在我們日常生活中很多地方都有抽屜原理的應用。通過本文的介紹，相信大家對抽屜原理會有一個更為全面的認識。 關鍵詞：抽屜原理、狄利克雷原理、數學競賽、拉姆塞定理 Abstract：This paper describes the simple of the widespread use of drawer principle,focuses on the drawer principle in mathematics our primary school mathematics,advanced mathematics, shallow to deep, simple to complex,step by step to understand the principle of drawer.At the same time,the drawer principle of learning,we can find applications in our daily life,there are a lot of places of drawer principle,such as computer divination,schedule,resource allocation and so on. Keywords: Drawer principle,de Lickley principle,Mathematics competition,Ramsry’s theorem mathematics competition mathematics competition mathematics competition 1 引言 抽屜原理又稱鴿巢原理、鞋箱原理或重疊原理，是一個十分簡單又十分重要的原理.它是由德國著名數學家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet 1805-1855)首先發現的，因此也叫作狄利克雷原理。 抽屜原理簡單易懂，主要用于證明某些存在性或至少類的問題，在生活中抽屜原理的應用非常廣泛，解決了生活中一些模糊不清的問題，方便了人們的生活。 本文歸納了抽屜原理在小學數學競賽、中學數學競賽中的一些簡單應用，由淺入深將抽屜原理推廣到更高的領域，并舉例闡述了抽屜原理在現實生活中的應用。 2 抽屜原理的定義 第一抽屜原理 原理1：把多于n個的物體放在n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件。 證明(反證法)：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數至多是 n，而不是題設的，故不可能。 原理2：把多于(m乘于n)個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于的物體。 證明(反證法)：若每個抽屜至多放進m個物體，那么n個抽屜至多放進個物體，與題設不符，故不可能。 原理3：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。 第二抽屜原理 把個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有個物體(例如，將個物體放入5個抽屜中，則必定有一個抽屜中的物體數少于等于)。 證明(反證法)：若每個抽屜都有不少于m個物體，則總共至少有個物體，與題設矛盾，故不可能。 3 抽屜原理在數學競賽以及實際生活中的應用 數學競賽是以開發智力為根本目的、以問題解決為基本形式、以競賽數學為主要內容。最本質的是對中學生進行“競賽數學”的教育，這種教育的性質是：較高層次的基礎教育、開發智力的素質教育、生動活潑的業余教育、現代數學的普及教育。 數學競賽與體育競賽相類似，它是青少年的一種智力競賽，所以蘇聯人首創了“數學奧林匹克“這個名詞。在類似的以基礎科學為競賽內容的智力競賽中，數學競賽歷史最悠久，參賽國最多，影響也最大。 數學競賽活動也是由淺入深逐步發展的。幾乎每個國家的數學競賽活動都是先由一些著名數學家出面提倡組織，試題的命題在背景的深刻度和構題的藝術性上也有較高的要求，較為突出的有四條：內容的科學性、結構的新穎性、功能的選拔性、解法的靈活性。數學競賽命題的基本途徑主要有：高等初等化，歷史名題的再生，成題改編，模型法。抽屜原理由于它自身的特點，簡單并且思維方法在解題過程中可以演變出很多奇妙的變化和頗具匠心的運用，所以抽屜原理經常是命題人出題方向及思路。 3.1 抽屜原理在小學數學競賽中的應用 其實在抽屜原理在小學數學中已經有雛形了，在人教版六年級下冊中的“數學廣角”中，就已經出現了一些抽屜原理的簡單應用。當時就有很多教師反應教學存在一定的困難性，不僅如此，學生也普遍覺得難以理解，學習起來也很困難！在數學問題中，經常碰到有關“存在性”的問題。如某地區醫院一月共接生32名嬰兒，那么一定存在兩名嬰兒，他們是在同一天出生的。在解決這類問題中，只需要確定某個人(或某件物)，也不需要嚴格說明通過什么方式把這個存在的人(或物)找出來。這就是我們小學初次接觸的比較簡單的“抽屜原理”，即把多于n個的物體放在n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件。在教學過程中，教學者普遍認為在這類問題上很難向學生講清其中的來龍去脈，所以在理解算法的基礎上，采用“總有……至少……”的語言敘述出來，以加固理解，采用這種教學方法，學生相對來說容易理解一些。 下面我們將問題建立兩類模型來解決： 模型一 求至少的問題 這類問題的特點是：已知“抽屜”的個數，求某個“抽屜”里至少能裝多少的問題。 例1 在任意的49個人中，至少有幾個人的屬相相同？ 解：因為共有12個生肖，將12個生肖看成12個“抽屜”，問題就轉換成尋求一個“抽屜”里至少能“裝”多少人。我們可以先算出平均每個“抽屜”“裝”多少個人：，多出來的1個人總會隨機的進入到某個“抽屜”中，所以總有一個抽屜里有四個人，也就是總有一種生肖屬相里至少有4個人。即：至少有4個人的屬相相同。 例2 平面上有六個點A、B、C、D、E、F，其中不存在三個點在同一條直線上的情況，每兩點之間都用紅線或藍線連接。試說明：不管如何連接，至少存在有一個三角形是三條邊的顏色都相同。 解：從六個點當中任取一點，設為A，在用它連接其余五點的五條線段中，至少有3條同色(把紅、藍兩色作為兩個“抽屜”，)。假設其中的AB、AC、AD為紅色線段(如下圖所示)。 這時，在三條線段BC、BD、CD中，若有一條為紅色，則得到一個三邊為紅色的三角形；(如下圖所示) 若沒有一條為紅色，則BC、BD、CD都是藍色，也得到一個三邊都是的三角形⊿BCD。(

總結

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