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爆炸吧知識

當談到復雜數學定理的證明時，很多人常常為之色變，認為這只是一個枯燥的公式堆砌和深奧的數學推導過程。這當然是一個讓筆者感到糾結的誤解。因為數學證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風景線，而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。所以我在這里盤點了數學里十大不需要語言的證明（proofs without words）。讓讀者在領略數學所包含的無與倫比的精巧之外，更從此愛上數學。

0. 勾股定理

這個大家小學就學過的古老定理，有著無數傳奇故事。我可以很隨意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《畢達哥拉斯命題》（ Pythagorean Proposition）提到這個定理的證明方式居然有367種之多，實在讓人驚訝。這里給出一個不需要語言的證明方法。

實際上勾股定理是余弦定理的一種特殊情況，而余弦定理的證明，同樣可以不用語言。

1. 關于反正切的恒等式

關于反正切，有如下兩個很精彩的等式：

arctan1/2+arctan1/3=π/4acrtan1+arctan2+arctan3=π

它們的證明方法也同樣精彩。

2. 幾何平均值小于算術平均值

這是不等式中最重要和基礎的等式：

它也可以通過圖形來證明。

注意到△ABC∽△DBA ,可以很輕松地得到AB=√ab。剩下的就顯而易見了。

3. 1+3+5+…+（2n-1）= n?2

這是奇數的求和公式，下圖是當n=8時的情形

4. 平方數的求和公式

一個很漂亮的公式，證明的過程令人眼前一亮。

5. 立方數的求和公式

立方數的求和證明與平方數的求和證明方法有些相像：

6. 斐波那契數列的恒等式

可謂家喻戶曉的斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和，即 F _n+1 = F _n + F _n-1。

它的通項公式是

有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。

而且當n無窮大時， F _n-1 / F _n 越來越逼近黃金分割數0.618。正因為它的種種神奇性質，美國數學會甚至從1960年代起出版了《斐波納契數列》季刊。關于斐波那契數列，有一個恒等式是這樣的。

這個等式很漂亮，不需要借助復雜的數學推導，它有一個很直觀的證明方法。

7. 結果為1/3的一組分子式

下面是一組分子式，他們的結果都等于1/3?：

讓我們用若干個小球看待這個公式。

8. 最受數學家喜愛的無字證明

1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤后，你所使用的每種菱形數量一定相同。

《美國數學月刊》提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形涂上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在墻角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。

它把一個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起，實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的“證明”流傳甚廣，深受數學家們的喜愛。死理性派曾經討論過 這個問題 。同時它還是死理性派logo的出處。

9. 棋盤上的數學證明

在一個8×8的國際象棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果將對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？

答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑。所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格。而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色，另一種顏色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。

但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢？假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格，那么剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的,并且關于這個結論，存在一個非常漂亮的證明。建議讀者在繼續往下閱讀前，可以先自行思考如何證明這個結論。

上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線。從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路）。在這兩段（或一段）線路中，兩種顏色的格子數量都是偶數，故分別都可以被若干張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。

這個著名的棋盤問題是數學游戲大師馬丁?加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它們后來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書里。

轉載來源：數學與人工智能

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的盘点数学里十大不需语言的证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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