數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法
基于《算法圖解》—Aditya Bhargava 和《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》—嚴(yán)蔚敏

第7章 狄克斯特拉算法

上一章的廣度優(yōu)先搜索，找出的是段數(shù)最少的路徑；
本章狄克斯特拉算法，找出的是最快的路徑。

7.1 使用狄克斯特拉算法
步驟：
第一步：找出最便宜的節(jié)點(diǎn)

從起點(diǎn)出發(fā)，前往節(jié)點(diǎn)A需要6分鐘，而前往節(jié)點(diǎn)B需要2分鐘。置于前往其他節(jié)點(diǎn)，先假設(shè)為不窮大。

第二步：計(jì)算經(jīng)節(jié)點(diǎn)B前往其各個(gè)鄰居所需的時(shí)間。

經(jīng)節(jié)點(diǎn)B可以找到前往節(jié)點(diǎn)A更短的路徑，只需要5分鐘。

對(duì)于節(jié)點(diǎn)B的鄰居，如果找到前往它的更短路徑，就更新其開(kāi)銷：

• 前往節(jié)點(diǎn)A的更短路徑(從6分鐘縮短到5分鐘)。
• 前往終點(diǎn)的更短路徑(從無(wú)窮大縮短到7分鐘)。

第三步：重復(fù)

重復(fù)第一步：找出可能在最短時(shí)間內(nèi)前往的節(jié)點(diǎn)。 已經(jīng)對(duì)節(jié)點(diǎn)B執(zhí)行了第二步，除節(jié)點(diǎn)B外，可在最短時(shí)間內(nèi)前往的節(jié)點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)A。

重復(fù)第二步：更新節(jié)點(diǎn)A的所有鄰居節(jié)點(diǎn)開(kāi)銷。

可以發(fā)現(xiàn)前往終點(diǎn)的時(shí)間為6分鐘。

7.1.1
使用廣度優(yōu)先搜索來(lái)查找兩點(diǎn)之間的最短路徑，指的是段數(shù)最少；
而在狄克斯特拉算法中，每段都分配了一個(gè)數(shù)字或權(quán)重，因此找出的是總權(quán)重最小的路徑。

狄克斯特拉算法的4個(gè)步驟：

• （1）找出最便宜的節(jié)點(diǎn)，即可在最短時(shí)間內(nèi)前往的節(jié)點(diǎn)。
• （2）對(duì)于該節(jié)點(diǎn)的鄰居，檢查是否有前往它們的更短路徑，如果有，就更新其開(kāi)銷。
• （3）重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到對(duì)圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都這樣做了。
• （4）計(jì)算最終路徑。

7.2 術(shù)語(yǔ)

• 狄克斯特拉算法用于每條邊都有關(guān)聯(lián)數(shù)字的圖，這些數(shù)字稱為權(quán)重(weight)。
• 帶權(quán)重的圖為加權(quán)圖(weighted graph)，不帶權(quán)重的圖為非加權(quán)圖(unweight graph)。
• 環(huán)：從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，走一圈后又回到這個(gè)節(jié)點(diǎn)。繞環(huán)的路徑不可能是最短路徑。
• 無(wú)向圖意味著兩個(gè)節(jié)點(diǎn)彼此指向?qū)Ψ?#xff0c;其實(shí)就是環(huán)。在無(wú)向圖中，每條邊都是一個(gè)環(huán)。
• 狄克斯特拉算法只適用于有向無(wú)環(huán)圖(directed acyclic graph，DAG)。

7.3 換鋼琴例子
Rama想用自己的樂(lè)譜來(lái)?yè)Q架鋼琴，那么需要確定哪種路徑將樂(lè)譜換成鋼琴時(shí)需要支付的額外費(fèi)用最少。

使用狄克斯特拉算法可得到：

7.4 負(fù)權(quán)邊
如果有負(fù)權(quán)邊，就不能使用狄克斯特拉算法。
因?yàn)榈铱怂固乩惴ㄊ沁@樣假設(shè)的：對(duì)于處理過(guò)的海報(bào)節(jié)點(diǎn)，沒(méi)有前往該節(jié)點(diǎn)的更短路徑。這種假設(shè)僅在沒(méi)有負(fù)權(quán)邊時(shí)才成立。
在包含負(fù)權(quán)邊的圖中，要找出最短路徑，可使用貝爾曼-福德算法。

7.5 實(shí)現(xiàn)
以下圖為例。

要編寫(xiě)解決這個(gè)問(wèn)題的代碼，需要三個(gè)散列表。

算法實(shí)現(xiàn)思路

#實(shí)現(xiàn)圖GRAPH：將節(jié)點(diǎn)的鄰居和前往鄰居的開(kāi)銷存儲(chǔ)到散列表中。 graph["start"] = {} graph["start"]["a"] = 6 graph["start"]["b"] = 2graph["a"] = {} graph["a"]["fin"] = 1 #fin指到終點(diǎn)graph["b"] = {} graph["b"]["a"] = 3 graph["b"]["fin"] = 5graph["fin"] = {} #終點(diǎn)沒(méi)有任何鄰居#實(shí)現(xiàn)圖COSTS：節(jié)點(diǎn)的開(kāi)銷指的是從節(jié)點(diǎn)出發(fā)前往該節(jié)點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間。 infinity = float("inf") costs = {} costs["a"] = 6 costs["b"] = 2 costs["fin"] = infinity#實(shí)現(xiàn)圖PARENTS：存儲(chǔ)父節(jié)點(diǎn)的散列表。 parents = {} parents["a"] = "start" parents["b"] = "start" parents["fin"] = None processed = [] #記錄處理過(guò)的幾點(diǎn)的數(shù)組，避免多次處理。

準(zhǔn)備工作做好了，接下來(lái)實(shí)現(xiàn)算法。
圖4.2

#首先定義函數(shù)find_lowest_cost_node找出開(kāi)銷最低的結(jié)點(diǎn) def find_lowest_cost_node(costs):lowest_cost = float("inf")lowest_cost_node = Nonefor node in costs: #遍歷所有節(jié)點(diǎn)cost = costs[node]if cost < lowest_cost and node not in processed: #如多當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的開(kāi)銷更低且未處理過(guò)，lowest_cost = cost #就將其視為開(kāi)銷最低的節(jié)點(diǎn)lowest_cost_node nodereturn lowest_cost_node#實(shí)現(xiàn)狄克斯特拉算法 node = find_lowest_cost_node(costs) #在未處理的節(jié)點(diǎn)中找出開(kāi)銷最小的節(jié)點(diǎn)。 while node is not None: #這個(gè)while循環(huán)在所有節(jié)點(diǎn)都被處理過(guò)后結(jié)束cost = cost[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.key(s): #遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的所有鄰居new_cost = cost + neighbors[n]if costs[n] > new_cost: #如果經(jīng)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)前往該鄰居更近costs[n] = new_cost #就更新該鄰居的開(kāi)銷parents[n] = node #同時(shí)將該鄰居的父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)processed.append(node) #將當(dāng)前節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為處理過(guò)node = find_lowest_cost_node(costs) #找出接下來(lái)要處理的節(jié)點(diǎn)，并循環(huán)

7.6 小結(jié)

• 廣度優(yōu)先搜索用于在非加權(quán)圖中查找最短路徑。
• 狄克斯特拉算法用于在加權(quán)圖中查找最短路徑。
• 僅當(dāng)權(quán)重為正時(shí)狄克斯特拉算法才管用。
• 如果圖中包含負(fù)權(quán)邊，請(qǐng)使用貝爾曼-福德算法。

——持續(xù)修改完善中…

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的07-狄克斯特拉算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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