圖的概念

圖 $G$ 的定義：$G=<V,E,\phi >$。其中，$V$ 是點集，$E$ 是邊集，$\phi$ 是點與邊的對應關系

點 $a$ 到點 $b$ 的有向邊，記$<a,b>$；點 $a$ 到點 $b$ 的無向邊，記$(a,b)$

邊與其兩個端點相連。無向圖中，稱之為關聯；有向圖中，稱之為相鄰

點的度：該點作為邊端點的次數

孤立點：度為 0 的點

懸掛頂點：度為 1 的點

懸掛邊：懸掛頂點的邊

平行邊：兩條邊的起點和終點分別相同

環：起點和終點是同一個點的邊

圖 $G$ 的最大度，記 $\Delta (G)$；最小度，記 $\delta (G)$

有向圖還細分為出度、入度

握手定理：無向圖和有向圖中，所有頂點度數之和等于圖的邊數的二倍；有向圖中，所有頂點出度之和等于所有頂點入度之和等于圖的邊數

數列可圖化，當且僅當數列所有元素之和為偶數

多重圖：含平行邊的圖

簡單圖：不含平行邊和環的圖

$n$ 階完全圖：有 $n$ 個頂點的完全圖，記為 $K_n$

完全無向圖：每個節點都與其余節點相連，構成的簡單無向圖；

完全有向圖：每對節點中都有相反的兩條有向邊，構成的簡單有向圖

正則圖：所有頂點的度數都一樣。完全圖是正則圖的特例

子圖：對原來圖中的邊和節點進行刪減后的圖

生成子圖：對原來圖中的邊進行刪減后的圖。生成子圖是子圖的特例

帶權圖：邊有權值的圖

圖的聯通性

通路、回路

初級通路（路徑）、初級回路（圈）：所有的點不同

簡單通路、簡單回路：所有的邊不同

連通圖：任意點都是連通的；等價定義，連通圖的連通分支為 1

連通分支：連通關系的導出子圖，記 $W(G)$

強連通圖：有向圖中，任意兩個節點都相互可達

單向連通圖：有向圖中，任意兩個節點至少存在一個點到另一個點

弱連通圖：將有向圖變為無向圖，仍然是連通圖

點割集與邊割集

$G?v$：在圖 $G$ 中刪除點 $v$ 以及關聯的邊

$G?V^{\prime }$：在圖 $G$ 中刪除集合 $V^{\prime }$ 中所有的點以及點所關聯的邊

$G?e$：在圖 $G$ 中刪除邊 $e$

$G?E^{\prime }$：在圖 $G$ 中刪除集合 $E^{\prime }$ 中所有的邊

設 $V^{\prime }$ 是 $V$ 真子集，$V^{\prime \prime }$ 是 $V^{\prime }$ 真子集。首先進行 $G?V^{\prime }$ 操作后，是非連通圖，再將原來的圖進行 $G?V^{\prime \prime }$ 操作后，連通性不變。則 $V^{\prime }$ 就是點割集。點割集只含一個元素，則該元素稱之為割點

設 $E^{\prime }$ 是 $E$ 真子集，$E^{\prime \prime }$ 是 $E^{\prime }$ 真子集。首先進行 $G?E^{\prime }$ 操作后，是非連通圖，再將原來的圖進行 $G?E^{\prime \prime }$ 操作后，連通性不變。則 $ E’ $ 就是邊割集。邊割集只含一個元素，則該元素稱之為橋

鄰接矩陣和可達矩陣

出度是所有橫向元素和，入度是所有縱向元素和

$A^1,A^2,...,A^n$ 矩陣的第 $[i][j]$ 個元素代表長度為 $1,2...,n$ 從 $v_i$ 到 $v_j$ 的邊的個數

$A^1,A^2,...,A^n$ 矩陣的主對角線元素之和代表長度為 $1,2...,n$ 的回路個數

$A^1,A^2,...,A^n$ 矩陣的所有元素之和代表長度為 $1,2...,n$ 的通路個數

無向圖是對稱矩陣；簡單圖是布爾矩陣，且主對角線元素為 0

可達矩陣 $P$，若 $v_i$ 到 $v_j$ 可達，則 $ P[i][j]$ 置 1，否則為 0

可達矩陣主對角線元素全為 1；圖為強連通圖，當且僅當可達矩陣元素全為 1

$A^1+A^2+...+A^n$ 得到矩陣，將其非 0 元素改為 1，就是可達矩陣 $P$

歐拉圖

歐拉通路：通過圖中所有邊一次且僅一次的通路

歐拉回路：通過圖中所有邊一次且僅一次的回路

歐拉圖：有歐拉回路的圖

半歐拉圖：有歐拉通路無歐拉回路的圖

歐拉通路是簡單通路；歐拉回路是簡單回路；環不影響歐拉性

無向圖 $G$ 為歐拉圖當且僅當 $G$ 連通且無奇度頂點

無向圖 $G$ 為半歐拉圖當且僅當 $G$ 連通且恰有兩個奇度頂點

有向圖 $G$ 為歐拉圖當且僅當 $G$ 連通且每個頂點出度等于入度

有向圖 $G$ 有歐拉通路當且僅當 $G$ 連通且恰有兩個奇度頂點，其中一個入度比出度大，另一個出度比入度大一，其余出度、入度相等

哈密頓圖

哈密頓通路：經過圖中所有頂點一次且僅一次的通路

哈密頓回路：經過圖中所有頂點一次且僅一次的回路

哈密頓圖：有哈密頓回路的圖

半哈密頓圖：有哈密頓通路無哈密頓回路的圖

哈密頓通路是初級通路；哈密頓回路是初級回路；環與平行邊不影響哈密頓性

無向哈密頓圖的必要條件：設無向圖 $G$ 是哈密頓圖， $V_1$ 是 $V$ 非空真子集，均有 $W(G?V_1)?｜V_1｜$

無向哈密頓圖的充分條件：設 $G$ 是 $n(n>2)$ 階無向簡單圖，對任意不相鄰的頂點 $u,v$，均有 $n?d(u)+d(v)$

無向哈密通路的充分條件：設 $G$ 是 $n$ 階無向簡單圖，對任意不相鄰的頂點 $u,v$，均有 $n?1?d(u)+d(v)$

平面圖

若圖能重新繪制成邊不想交的圖，則稱為平面圖

歐拉公式：設 $G$ 為 $n$ 階 $m$ 條邊 $r$ 個面的連通平面圖，則 $n?m+r=2$

樹

樹：無回路的連通無向圖。度數等于 1 的頂點稱作樹葉，度數大于等于 2 的頂點稱作分支點.

平凡樹：平凡圖

森林：每個連通分支都是樹的非連通的無向圖

設 $G$ 是 $n$ 階級 $m$ 條邊無向圖，以下命題等價

$G$ 是樹

$G$ 中任意兩個頂點間存在唯一路徑

$G$ 中無回路，且 $m=n?1$

$G$ 是連通的，且 $m=n?1$

$G$ 是連通的，且任何邊均為橋

$G$ 中無回路，但在不同頂點加上新邊，則會構成含新邊的唯一個圈

最小生成樹

設 $G$ 為無向連通圖，$G$ 的生成子圖是樹，則稱為生成樹，記 $T$

生成樹的樹枝：$G$ 在 $T$ 中的邊

生成樹的弦：$G$ 不在 $T$ 中的邊

余樹：所有生成樹的弦構成的導出子圖

最小生成樹：帶權圖中權值最小的生成樹

最小生成樹的算法：破圈法（刪最大邊）和避圈法（加最小邊）

Kruskal 算法和 Prim 算法都是避圈法

總結

以上是生活随笔為你收集整理的离散数学之图的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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