什么是“流”？

在我接觸過的各種數(shù)學(xué)體系中，對(duì)于運(yùn)動(dòng)和變化的描述，我感覺最為適合的有兩種不同的perspective：流和變換群。前者以被作用的對(duì)象為中心，運(yùn)動(dòng)就是這個(gè)東西隨時(shí)間變化的函數(shù)；后者以變換本身為中心，研究的是各種變換所組成的空間的代數(shù)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。我想，相對(duì)來說，前者對(duì)于多數(shù)人而言似乎更為直觀。在這篇文章里，就以“流”(Flow)的角度展開了。其實(shí)，這兩種思路有著根本的聯(lián)系——這種聯(lián)系體現(xiàn)在李群論的一個(gè)基礎(chǔ)概念——李群作用(Lie Group Action)，以及由它所延伸出來的豐富的理論。

流(Flow)是什么呢？很通俗的說，表示了一種運(yùn)動(dòng)規(guī)則。給定一個(gè)點(diǎn)的初始位置x，讓它運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間t，那么之后到達(dá)另一個(gè)位置y，那么y就是初始位置x和運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)：

這個(gè)函數(shù)S，如果符合一些合理的性質(zhì)，就叫做一個(gè)流(Flow)。學(xué)過微分幾何的同學(xué)可能會(huì)覺得這個(gè)定義與數(shù)學(xué)中的嚴(yán)格定義有點(diǎn)差距——確實(shí)如此。在微分幾何中，流的概念需要建立在流形和單參數(shù)子群或者積分曲線的基礎(chǔ)上，在一篇博客中很難按照這樣的方式闡述。只好在一定程度上放棄嚴(yán)密性，從直觀出發(fā)，希望能傳遞出最基本的思想。

?我們想想，一個(gè)合理的運(yùn)動(dòng)函數(shù)應(yīng)該具有什么性質(zhì)呢？我想，最起碼應(yīng)該有三點(diǎn)：

運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的。物理學(xué)告訴我們，現(xiàn)實(shí)中沒有所謂的“瞬間轉(zhuǎn)移”。在上面的式子中，如果固定x，那么就是這個(gè)初始位置在x的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程。在數(shù)學(xué)上，沒有“瞬間轉(zhuǎn)移”就是說對(duì)于任何x，它的運(yùn)動(dòng)過程都是連續(xù)的。

變形是連續(xù)的。現(xiàn)在假設(shè)我們不考慮一個(gè)點(diǎn)，而是考慮一個(gè)物體。那么，本來是鄰居的點(diǎn)，后來還是鄰居——嚴(yán)格一點(diǎn)，在拓?fù)鋵W(xué)上就是說，x和它的一個(gè)鄰域各自都運(yùn)動(dòng)了時(shí)間t，那么運(yùn)動(dòng)后，這個(gè)鄰域關(guān)系還是保持的——這等價(jià)于不改變這個(gè)物體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（比如，不把它撕開，但是連續(xù)變形是肯定允許的）。當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)中物體被撕開不是沒有可能，但是這會(huì)導(dǎo)致拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變，這就不是一般的數(shù)學(xué)工具所用表達(dá)的了。

時(shí)間上的一致性。簡(jiǎn)單的說，如果我先讓它運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1，再運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2，那么和讓它運(yùn)動(dòng)時(shí)間(t1+t2)是一樣的。用上面這個(gè)表達(dá)式寫，就是：。這個(gè)性質(zhì)在物理上似乎理所當(dāng)然，但是在數(shù)學(xué)上，你隨便給一個(gè)二元函數(shù)S，可就未必符合這個(gè)屬性了。這個(gè)規(guī)定保證了，我們定義出來的S最起碼在物理上不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)亂。但是，它的意義不止于此，后面我們會(huì)看到，它在代數(shù)上，表示了一個(gè)群同構(gòu)映射(Group homomorphism)——這種映射在李代數(shù)中有著核心作用。

總結(jié)起來，是對(duì)于x和t的連續(xù)函數(shù)（實(shí)際上，在一般的定義中更嚴(yán)格一些，通常要求S是連續(xù)函數(shù)，就是無限階可微的函數(shù)。光滑性其實(shí)不是很強(qiáng)的條件，我們學(xué)過的全部初等函數(shù)都是光滑的）。還有就是關(guān)于時(shí)間的一致性條件。這里特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，我們?cè)试St是可正可負(fù)的：時(shí)間取負(fù)數(shù)，就是讓這個(gè)點(diǎn)沿著原路徑倒回去走——怎么來的，就怎么回去。這里面隱含了一個(gè)條件：在某一時(shí)刻分開的兩點(diǎn)是永遠(yuǎn)走不到一起成為一點(diǎn)的——否則倒回去就不知道往哪走了——這拓?fù)渖?#xff0c;拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不發(fā)生改變就保證了這一點(diǎn)：物體既不能撕開，也不能粘在一起。

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流——變換群和運(yùn)動(dòng)曲線的統(tǒng)一

從兩方面去看，可以得到兩種不同的理解。首先，固定t：

它就變成了一個(gè)關(guān)于x的變換函數(shù)：把一個(gè)點(diǎn)從一個(gè)位置變換到時(shí)間t后的另外一個(gè)位置。那么就是一個(gè)變換。然后，不同的時(shí)間tt，對(duì)應(yīng)著一個(gè)不同的變換。而且基于時(shí)間的一致性，先做變換（走時(shí)間t1），再做變換（走時(shí)間t2），相當(dāng)于另一個(gè)變換。數(shù)學(xué)上就是。如果你對(duì)群的概念有基本的了解，這里就可以看出來，從全部的不同時(shí)間的構(gòu)成了一個(gè)變換群，從t到的映射，就是從實(shí)數(shù)R上的加法群到這個(gè)變換群的同構(gòu)映射。因?yàn)槭怯梢粋€(gè)參數(shù)t控制的，有個(gè)專門的名詞，叫做“單參數(shù)群”(one-parameter group)。由于加法群的可交換性，這個(gè)單參數(shù)變換群也是可交換的——這個(gè)可交換性的物理意義就是像我上面說的：先走t1還是t2是一樣的。

因此，我們得到了第一種理解：流，就是連續(xù)作用在一個(gè)物體上的可交換單參數(shù)變換群。（這里所謂“物體”，在數(shù)學(xué)上有專門的名字“流形”，對(duì)于這點(diǎn)我不想展開太多了）其實(shí)，這才是關(guān)于流的比較正規(guī)的定義。

從另外一個(gè)角度上看，固定x，我們追蹤這一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)：

那么就是初始位置（t=0時(shí)的位置）為x的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程——也叫做運(yùn)動(dòng)曲線(curve) 或者運(yùn)動(dòng)軌跡(orbit)。每個(gè)點(diǎn)都有自己的運(yùn)動(dòng)曲線，所謂流，就是這所有的這些運(yùn)動(dòng)曲線的共同體，或者說，流就是由這些運(yùn)動(dòng)曲線刻畫的——這和我們一些直觀的想法是一樣的——我們?cè)诋嫯嫊r(shí)喜歡在河上畫幾條曲線來表示流動(dòng)。

這個(gè)函數(shù)把變換群和運(yùn)動(dòng)曲線同一起來了——它們就是一個(gè)東西的兩個(gè)不同側(cè)面。到這里，我們向我們的目標(biāo)邁出了第一步——最終，我們是要把變換群和向量場(chǎng)聯(lián)系在一起——這就是李群和李代數(shù)的核心所在。

流與向量場(chǎng)

現(xiàn)在，我們有了 ，那么對(duì)它求導(dǎo)，我們就可以得到這個(gè)點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的速度。整個(gè)流行就是所有這些曲線的集合，這樣，在流形上的每個(gè)點(diǎn)，我們都能找到經(jīng)過它的一條曲線，從而標(biāo)出這點(diǎn)的速度。（這里強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，對(duì)于一個(gè)給定的流，經(jīng)過某點(diǎn)的曲線是唯一的，你可以想想為什么？）于是，我們給每個(gè)點(diǎn)都賦予了一個(gè)速度，這就是“速度場(chǎng)”(velocity field)。每個(gè)速度就是曲線上的一個(gè)切向量，所以更一般的說，我們把它叫做“向量場(chǎng)”。這里，我們看到，任意一個(gè)流都可以通過運(yùn)動(dòng)曲線的速度來建立一個(gè)對(duì)應(yīng)的向量場(chǎng)。而且可以證明，這個(gè)向量場(chǎng)是連續(xù)的。

那么反過來呢？我們給定一個(gè)連續(xù)的向量場(chǎng)，能不能找到一個(gè)流和它對(duì)應(yīng)呢？這里面有三個(gè)方面

（存在性），能不能找到一個(gè)流，它的速度場(chǎng)等于給定的向量場(chǎng)。

（唯一性），如果存在，這個(gè)流是不是唯一的。

（連續(xù)性），這個(gè)流是不是關(guān)于x和t的連續(xù)函數(shù)。

?這個(gè)問題是一個(gè)很深刻的問題，它的回答直接聯(lián)系到一般意義的常微分方程的解的存在性，唯一性，和連續(xù)性。答案是，這在局部上是成立的。就是任意一個(gè)定義于流形上的向量場(chǎng)，對(duì)于流形上的任何一點(diǎn)，總能找到包含它的一個(gè)“局部流形”（開子流形），以及定義在這個(gè)局部上的流，使得流的速度場(chǎng)和給定的向量場(chǎng)在這個(gè)局部相等。簡(jiǎn)潔一點(diǎn)說，符合條件的流在處處“局部存在”。而且，它們?cè)谀撤N意義上是唯一的，就是兩個(gè)符合條件的“局部流”，它們?cè)诙x域重合的部分是相等的。如果給定向量場(chǎng)是連續(xù)的話，那么導(dǎo)出的流也是連續(xù)的。

我不打算給出嚴(yán)格的證明，這可以在很多微分流形的相關(guān)資料中找到。這里，我希望用一個(gè)通俗的過程來介紹，怎么構(gòu)造出這個(gè)流。我們把向量場(chǎng)看成是在一個(gè)大地圖上標(biāo)了很多很密的指示牌——告訴你到了這點(diǎn)后應(yīng)該用多大的速度往什么方向開車。于是，你從某個(gè)地方出發(fā)，你先看看附近的指示牌，把車子調(diào)整到指示的速度和方向，往前開一小段后看到下一個(gè)指示，繼續(xù)調(diào)整速度和方向，一直這樣下去，你開車的過程就形成了一個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡，而且在各點(diǎn)上的速度，都和該點(diǎn)的指示一致。設(shè)想一個(gè)極限過程，指示牌無限密集，開車的人每個(gè)時(shí)刻都在連續(xù)地調(diào)節(jié)速度，那么就得到了一個(gè)和向量場(chǎng)一致的運(yùn)動(dòng)曲線。我們上面說過，流是所有這些運(yùn)動(dòng)曲線的集體，于是我們從不同的地方開始開車，最后就能把整個(gè)流構(gòu)造出來了。

有些時(shí)候，向量場(chǎng)的定義域可能不是很完整，那么車子不能無限開下去（不然可能開出去了），這時(shí)候只能給出“局部的流”。如果一個(gè)向量場(chǎng)存在一個(gè)全局的流，就叫做完備的向量場(chǎng)(Complete Vector Field)。

這樣，我們就可以知道一個(gè)變換是怎么煉成的：就是按照指示，一步步的做，這些小步積累起來，就形成最后的變換效果。有什么樣的指示，就會(huì)有什么樣的變換。在李群論中，數(shù)學(xué)家給向量場(chǎng)起了個(gè)名字：infinitestimal generator——寓意是，千里變換，生于跬步。數(shù)學(xué)上，“千里”與“跬步”的關(guān)系，就是李群和李代數(shù)的聯(lián)系。

為什么我們不直接描述變換，而言描述生成它的向量場(chǎng)呢？很簡(jiǎn)單，很多時(shí)候全局的演化不容易直接描述，而小步的前進(jìn)則是很容易把握的。在很多問題中，我們知道“divide and conquer“的策略能夠大大簡(jiǎn)化問題，從變換群到向量場(chǎng)正是這種策略的極限體現(xiàn)。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，比如我們要表示一個(gè)不會(huì)改變物體大小的變換過程，所謂“不可壓縮性”如果用變換矩陣直接表達(dá)，那是一個(gè)頗為復(fù)雜的非線性約束，而如果使用向量場(chǎng)表達(dá)，我們只需要把向量場(chǎng)限制在某個(gè)有限維子空間里——這就是一個(gè)簡(jiǎn)單得多的線性約束。這樣的例子還有很多很多。

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和微分方程的聯(lián)系

最后，我們?cè)倩仡^看看上面這個(gè)“從向量場(chǎng)推導(dǎo)流”的問題。我們知道所謂速度場(chǎng)，就是對(duì)tt的導(dǎo)數(shù)，所以這個(gè)問題，可以寫成：

給定向量場(chǎng)，求使得，且

這就是一般意義的常微分方程的初值問題。對(duì)這個(gè)問題的回答，和對(duì)于常微分方程的解得存在性，唯一性和連續(xù)性的回答，是聯(lián)系在一起的。給定一個(gè)向量場(chǎng)，就相當(dāng)于給出一個(gè)常微分方程。如果給定xx, 那么所形成的曲線，就是上述微分方程的解，而流就是所有這些解的整體。我們知道微分方程的解通常以積分形式給出，所以上面說的“運(yùn)動(dòng)曲線”，在數(shù)學(xué)上有個(gè)正式的學(xué)名叫“積分曲線”(Integral curve)。

在物理上，“積分曲線”也是很容易理解的，就是把“速度指示牌”的指示積累起來形成的路徑，積分曲線生成的過程就是“積跬步而致千里”的過程。而且，這不僅僅是一種形象思考，在實(shí)際問題中微分方程的數(shù)值解法正好就是這種過程的最好體現(xiàn)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的流，向量场，和微分方程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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