向量空間、維度和四大子空間

• 零空間的基和秩-零化度定理
• • 零空間及零空間的基
  • 秩-零化度定理
  • 列空間與零空間對比
  • 零空間與矩陣的逆
  • 深入理解零空間
• 左零空間
• • 回顧已有的三個子空間
  • 第四個子空間
• 研究子空間的意義

零空間的基和秩-零化度定理

零空間及零空間的基

一個齊次線性系統$A?x=0$的解就是對應的系數矩陣的零空間。

首先通過一個簡單的齊次線性方程組進行演示，
$$?\begin{array}{ccc}?1& 2& 3\\ 1& ?4& ?13\\ ?3& 5& 4\end{array}???\begin{array}{ccc}1& 0& 7\\ 0& 1& 5\\ 0& 0& 0\end{array}???\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}???\begin{array}{c}?7x_3\\ ?5x_3\\ x_3\end{array}?=?\begin{array}{c}?7\\ ?5\\ 1\end{array}?x_3$$
該線性系統的零空間維度為1，向量 (-7, -5, 1)是該空間的一組基。

實際問題中會遇上更多的復雜情況，如下面這個復雜矩陣，

進一步的將解向量進行提取，得到下面的四個向量，

這實際上就是這四個向量的生成空間，同時也是這個復雜的線性系統的解，同樣也是該線性系統系數矩陣的零空間的一組基，該零空間的維度是四維。

秩-零化度定理

回顧最開始通過Gauss-Jordan消元法得到的矩陣的行最簡形式，

可以總結如下，一個$m\times n$的矩陣，將其化為行最簡形式，其主元列的個數為列空間的維度；如果已知主元列的數目就可以得到自由列的數目，自由列列數就是零空間的維度。列空間維度+零空間維度=$n$。

對于一個矩陣而言，行秩=列秩，統稱為矩陣的秩(rank)。零空間的維度稱為零化度(nullity)，故可以得到秩-零化度定理：秩+零化度=$n$。

列空間與零空間對比

對于一個$m\times n$的矩陣，

列空間零空間

$Ax=v$($v$任取)	$Ax=0$
列空間是$m$維空間的子空間	零空間是$n$維空間的子空間
列空間的維度是行最簡形式中主元列的數目	零空間的維度是行最簡形式中自由列的數目
主元列對應原矩陣的列，是列空間的一組基	求取零空間的基需要求解齊次線性系統

零空間與矩陣的逆

當行最簡形式不存在自由列時，零空間的維度為0。此時矩陣是滿秩的。因為矩陣滿秩的等價命題是矩陣存在逆矩陣，所以在矩陣可逆的命題中又多了一條等價命題。

深入理解零空間

$A$的零空間就是$Ax=0$中，所有$x$組成的空間

零空間是一個集合，這個集合中的所有向量與$A$的行向量的點乘結果為0

這個集合中所有的向量與$A$的行空間中所有的向量垂直(正交)

左零空間

回顧已有的三個子空間

第四個子空間

矩陣的列空間與之對應的是矩陣的零空間。理論上也會存在一個與矩陣的行空間對應的空間，可以使用 $Null(A^T)$進行表示，稱為左零空間。

線性系統 $A^{T}x=0$的解所對應的空間就是矩陣A的左零空間。之所以稱為左零空間，源自于對該空間線性系統表達式的推導，

研究子空間的意義

子空間的維度比原空間的維度低，尤其是面對維度很高的數據時，不僅難分析而且計算量極大。如果可以降維，可以簡化問題的研究。

在實際的研究中，很多情況下都會遇到 $Ax=b$，這樣的線性系統，若$A$的行數大于列數（可以理解為樣本數目大于特征數目），即方程數大于未知數個數。此時線性系統是無解的，因此很難學習到有用的知識。在$A$的列空間中尋找一個離$b$最近的$b^{\prime }$。轉而求解 $Ax=b^{\prime }$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数(13)——向量空间、维度和四大子空间(下)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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