開放性數(shù)學(xué)實驗報告

(2016 / 2017學(xué)年 第 2學(xué)期)

題 目：基于MATLAB的圓周率近似計算

專 業(yè) 通信工程

學(xué)生姓名 楊 坤 馮著豪 周李鑫

班級學(xué)號 B16011115 B16011110 B16011124

指導(dǎo)教師 趙禮峰

指導(dǎo)單位 南京郵電大學(xué)理學(xué)院

日 期 2017/5/20

MATLAB圓周率的近似計算

B16011115 楊 坤 B16011110 馮著豪 B16011124周李鑫

摘要：圓周率(Pi)是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。π也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。 在分析學(xué)里，π可以嚴格地定義為滿足sin x = 0的最小正實數(shù)x。

計算圓周率一直是很多人的追求。在電子計算機還沒有發(fā)明的時候就有很多先賢用各種方法計算了圓周率的近似值最著名的應(yīng)該是祖沖之，他計算出了圓周率的位數(shù)達到了小數(shù)點后七位。該記錄在世界范圍內(nèi)保持了八百年。

之后圓周率的計算進入了分析法時期，這一時期人們開始利用無窮級數(shù)或無窮連乘積求π，擺脫可割圓術(shù)的繁復(fù)計算。無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種π值表達式紛紛出現(xiàn)，使得π值計算精度迅速增加。

在分析法的基礎(chǔ)上，電子計算機的出現(xiàn)使得圓周率的計算精度大幅提高。計算圓周率已經(jīng)成為評判超級計算機的性能指標的項目之一。

如今個人計算機的性能也達到了一個極高的程度。學(xué)習(xí)使用計算機計算圓周率可以幫助我們更好地學(xué)習(xí)matlab同時對數(shù)學(xué)也會有更深的理解。

關(guān)鍵詞：圓周率計算；投點法；定積分計分法；冪級數(shù)；韋達公式

一、 問題分析

計算圓周率有很多方法，不同方法之間自然也有好壞之分。在強大的計算機性能的支持下，我們能使用不同的方法計算圓周率并且感受不同方法孰優(yōu)孰劣。首先我們需要了解不同的計算方法是怎么計算圓周率的，然后使用matlab編寫代碼幫助我們實現(xiàn)算法，計算出圓周率。

二、 實驗方法

1. 投點法：

投點法，顧名思義就是通過投點計算圓周率。在一個邊長為1的正方形里以1為半徑畫一個四分之一圓，再向正方形里投點，在概率的學(xué)習(xí)中我們知道，大量地向這個正方形中投點時，在投的點足夠多的前提下，落在四分之一扇形里的點與投的所有點的個數(shù)之比應(yīng)該為扇形與整個正方形的面積之比。扇形的面積為四分之一圓，即1/4*pi,正方形的面積為1.設(shè)投n個點，落在扇形里的點的個數(shù)為count即可推出pi=4*(count/n)。

代碼如下：

count=0;

ezplot('x^2+y^2=1',[0,1,0,1]),hold on ,grid on

n=10000;

for i=1:1:n

x=rand(1,1);

y=rand(1,1);

plot(x,y,'*'),hold on

pause(0.001)

if x^2+y^2<=1

count=count+1;

end

end

p=4*(count/n)

投200個點時多次運行分別獲得以下結(jié)果：

3.3600 3.0600 3.1800 3.1400 3.1800

可見這時所得的結(jié)果并不穩(wěn)定，且結(jié)果并不精確于是繼續(xù)實驗投一千個點。

多次實驗后得出以下結(jié)果

3.1040 3.1120 3.2200 3.1520 3.0560 3.1280

此時的精確度仍然不盡人意，于是我們直接投了一萬個點

此時得到了以下結(jié)果

3.1376 3.1355 3.1413 3.1415 3.1490 3.1457

此時基本達到了兩位小數(shù)的精確度

于是我們更改投點個數(shù)得到以下結(jié)果

投100000個點時：3.1415 3.1414 3.1414 3.1413

當我們準備投更多點時發(fā)現(xiàn)投點法消耗太多計算機資源，已經(jīng)無法投太多的點了。投點法計算圓周率利用了計算機的高性能，但是性能的使用效率并不太高。

2. 定積分積分法

0111+x2dx=π4 π=40111+x2dx

將區(qū)間[0,1]分成n等份，在每個小區(qū)間上，選中點為ξi，使用積分的方法計算π的近似值。

代碼如下：

n=50;%等分積分區(qū)間數(shù)。

i=0:1/n:1;

s=0;

for k=1:length(i)-1

s=s+(1/(1+((i(k)+i(k+1))/2)^2))*1/n;

end

vpa(4*s，20)

設(shè)置不同的區(qū)間數(shù)，獲得不同的近似值，對應(yīng)關(guān)系如下：

區(qū)間數(shù)

50

100

200

300

400

500

600

近似值

3.1416

3.1416

3.1415947

3.14159357

3.14159317

3.14159298

3.14159288

相比于投點法，該方法以較高的效率使用了計算機資源達到了更高的精度，當n=100，000，000時，精度達到了小數(shù)點后十二位。

3. 冪級數(shù)

冪級數(shù)的方法有很多，我們學(xué)習(xí)了使用arctan(x)的Maclaurin展開式計算π的近似值，π=4arctan1=4(1-13+15-…+-1n+12n-1+…

代碼如下

n=10; %展開次數(shù)

s=0;

digits(50) %計算精度

for k=1:n

s=s+4*(-1)^(k+1)/(2*k-1);

end

vpa(s,20)

改變n的值，計算不同情況下得出的圓周率近似值

n

10

100

1000

10000

100000

近似值

3.0418

3.131592

3.14059

3.1414926535

3.1415826535897

該計算方法能比較準確地得出較高精度的圓周率的近似值

4. 韋達公式

根據(jù)韋達在1593年給出的公式 2π=22*2+22*…

代碼如下：

a=sqrt(2);

s=1;

n=100

for i=1:n

s=(s*a)/2;

a1=sqrt(2+a);

a=a1;

end

vpa(2/s,20)

使用該算法計算圓周率的近似值時，n與所得的近似值如下：

n

10

100

1000

Pi

3.1415914

3.14159265358979385

3.1415926535897932385

事實上，當n為100時所算出的圓周率精度已經(jīng)超過了小數(shù)點后100位，可見其計算精度之高，效率之快。一下列出n=100時所得結(jié)果精確到100位的輸出值：

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 342117068

三、實驗感想

圓周率的近似計算一直是一種挑戰(zhàn)，經(jīng)過這次研究，我們更加深刻地體會到了數(shù)學(xué)的魅力，同時也對matlab更加熟悉。在不斷的學(xué)習(xí)中，我們成長了很多。

參考文獻：

【1】 楊振華，酈志新《數(shù)學(xué)實驗》北京：科學(xué)技術(shù)出版社，2010.2

【2】 趙洪牛《高等數(shù)學(xué)》北京：高等教育出版社

【3】 百度百科：圓周率

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總結(jié)

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