問題：

????星期五的晚上，一幫同事在希格瑪大廈附近的“硬盤酒吧”多喝了幾杯。程序員多喝了幾杯之后談什么呢？自然是算法問題。有個同事說：“我以前在餐館打工，顧客經常點非常多的烙餅。店里的餅大小不一，我習慣在到達顧客飯桌前，把一摞餅按照大小次序擺好——小的在上面，大的在下面。由于我一只手托著盤子，只好用另一只手，一次抓住最上面的幾塊餅，把它們上下顛倒個個兒，反復幾次之后，這摞烙餅就排好序了。我后來想，這實際上是個有趣的排序問題：假設有n塊大小不一的烙餅，那最少要翻幾次，才能達到最后大小有序的結果呢？”

你能否寫出一個程序，對于n塊大小不一的烙餅，輸出最優化的翻餅過程呢？

（1）基本步驟

1、最上面的和下面“未選出的最大”的做一次翻轉——————》最大的跑到上面了

2、最大的和下面未初始化的第一個翻轉——————》最大的跑到了最下面

3、重復以上過程，直到全部有序

（2）如何改進以上的次數？

關于一摞烙餅的排序問題我們可以采用遞歸的方式來完成。其間我們要做的是盡量調整UpperBound和LowerBound，已減少運算次數。對于這種方法，在算法課中我們應該稱之為：Tree Searching Strategy。即整個解空間為一棵搜索樹，我們按照一定的策略遍歷解空間，并尋找最優解。一旦找到比當前最優解更好的解，就用它替換當前最優解，并用它來進行“剪枝”操作來加速求解過程。

書中給出的解法就是采用深度優先的方式來遍歷這棵搜索樹，例如要排序[4,2,1,3]，最大反轉次數不應該超過(4-1)*2=6次，所以搜索樹的深度也不應大于6，搜索樹如下圖所示：

這里只列到第三層，其中被畫斜線的方塊由于和上層的某一節點的狀態重復而無需再擴展下去（即便擴展也不可能比有相同狀態的上層節點的代價少）。我們可以看到在右子樹中的一個分支，只需要用3次反轉即可完成，我們的目標是如何更為快速有效的找到這一分支。直觀上我們可以看到：基本的搜索方法要先從左子樹開始，所以要找到本例最佳的方案的代價是很高的（利用書中的算法需要查找292次）。

既然要遍歷搜索樹，就有廣度優先和深度優先之分，可以分別用棧和隊列來實現（當然也可以用遞歸的方法）。那么如何能更有效地解決問題呢？我們主要考慮一下幾種方法：

（1）???????爬山法

該方法是在深度優先的搜索過程中使用貪心方法確定搜索方向，它實際上是一種深度優先搜索策略。爬山法采用啟發式側讀來排序節點的擴展順序，其關鍵點就在于測度函數f(n)的定義。我們來看一下如何為上例定制代價函數f(n)，以快速找到右子樹中最好的那個分支（很像貪心算法，呵呵）。

我們看到在[1,2,4,3]中，[1,2,3]已經相對有序，而[4]位與他們之間，要想另整體有序，需要4次反轉；而[3,1,2,4]中，由于[4]已經就位，剩下的數變成了長度為3的子隊列，而子隊列中[1,2]有序，令其全體有序只需要2次反轉。

所以我們的代價函數應該如下定義：

1?從當前狀態的最后一個餅開始搜索，如果該餅在其應該在的位置（中間斷開不算），則跳過；

2?自后向前的搜索過程中，如果碰到兩個數不相鄰的情況，就+1

這樣我們就可以在本例中迅速找到最優分枝。因為在樹的第一層

f(2,4,1,3)=3，f(1,2,4,3)=2，f(3,1,2,4)=1，所以我們選擇[3,1,2,4]那一枝，而在[3,1,2,4]的下一層：

f(1,3,2,4)=2，f(2,1,3,4)=1，f(4,2,1,3)=2，所以我們又找到了最佳的路徑。

上面方法看似不錯，但是數字比較多的時候呢？我們來看書中給出的10個數的例子：

[3,2,1,6,5,4,9,8,7,0]，程序給出的最佳翻轉序列為{?4,8,6,8,4,9}（從0開始算起）

那么，對于搜索樹的第一層，按照上面的算法我計算的結果如下：

f(2,3,1,6,5,4,9,8,7,0)=4

???????f(1,2,3,6,5,4,9,8,7,0)=3

???????f(6,1,2,3,5,4,9,8,7,0)=4

???????f(5,6,1,2,3,4,9,8,7,0)=3

???????f(4,5,6,1,2,3,9,8,7,0)=3

???????f(9,4,5,6,1,2,3,8,7,0)=4

???????f(8,9,4,5,6,1,2,3,7,0)=4

f(7,8,9,4,5,6,1,2,3,0)=3

f(0,7,8,9,4,5,6,1,2,3)=3

我們看到有4個分支的結果和最佳結果相同，也就是說，我們目前的代價函數還不夠“一擊致命”，但是這已經比書中的結果要好一些，起碼我們能更快地找到最佳方案，這使得我們在此后的剪枝過程更加高效。

爬山法的偽代碼如下：

1?構造由根組成的單元素棧S

2 IF Top(s)是目標節點?THEN?停止；

3 Pop(s);

4 S的子節點按照啟發式測度，由小到大的順序壓入S

5 IF??？?span style="font-family:Times New Roman">?Then?失敗

Else?返回2

?

??????????????如果有時間我會把爬山法解決的烙餅問題貼在后面。

（2）???????Best-First搜索策略

最佳優先搜索策略結合了深度優先和廣度優先二者的優點，它采取的策略是根據評價函數，在目前產生的所有節點中選擇具有最小代價值的節點進行擴展。該策略具有全局優化的觀念，而爬山法則只具有局部優化的能力。具體用小根堆來實現搜索樹就可以了，這里不再贅述。

（3）???????A*算法

如果我們把下棋比喻成解決問題，則爬山法和Best-First算法就是兩個只能“看”未來一步棋的玩家。而A*算法則至少能夠“看”到未來的兩步棋。

我們知道，搜索樹的每一個節點的代價f*(n)=g(n)+h*(n)。其中，g(n)為從根節點到節點n的代價，這個值我們是可求的；h*(n)則是從n節點到目標節點的代價，這個值我們是無法實際算出的，只能進行估計。我們可以用下一層節點代價的最小者來替代h*(n)，這也就是“看”了兩步棋?？梢宰C明，如果A*算法找到了一個解，那它一定是優化解。A*算法的描述如下：

1．??使用BestFirst搜索樹

2．??按照上面所述對下層點n進行計算獲得f*(n)的估計值f(n)，并取其最小者進行擴展。

3．??若找到目標節點，則算法停止，返回優化解

總結：歸根到底，烙餅問題之所以難于在多項式時間內解決的關鍵就在于我們無法為搜索樹中的每一條邊設定一個合理的權值。在這里，每條邊的權值都是1，因為從上一個狀態節點到下一個狀態節點之需要一次翻轉。所以我們不能簡單地把每個節點的代價定義為翻轉次數，而應該根據其距離最終解的接近程度來給出一個數值，而這恰恰就是該問題的難點。但是無論上面哪一種方法，都需要我們確定搜索樹各個邊的代價是多少，然后才能進行要么廣度優先、要么深度優先、要么A*算法的估計代價。所以，在給出一個合理的代價之前，我們所有的努力都只能是幫忙“加速”，而無法真正在多項式時間內解決問題。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的（1.5.1.3）编程之美：一摞烙饼的排序的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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