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高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)2.8：函數(shù)與方程

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數(shù)學(xué)是一種美妙而優(yōu)雅的東西，它隱藏在我們生活的方方面面，卻又難以察覺，而這需要一雙慧眼才能看到。

2013年，科普作家伊恩·斯圖爾特 (Ian Stewart) 就專門出了一本書，名叫《17 Equations That Changed The World (改變世界的17個方程)》，幫我們更多的了解它們，現(xiàn)在我們將其列舉出來，看看你都掌握著哪些呢？

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1.勾股定理

這一定理是我們理解幾何學(xué)的基礎(chǔ)。它描述了平面中直角三角形幾條邊的關(guān)系：兩條短邊a和b，它們的平方相加等于長邊c的平方。在某種程度上，這一方程將我們通常的歐幾里得幾何與曲面的非歐幾里得幾何區(qū)分開來。比如，一個畫在球體表明的直角三角形并不遵循勾股定理。工程技術(shù)人員用勾股定理比較多，比如農(nóng)村房屋的屋頂構(gòu)造,就可以用勾股定理來計算，設(shè)計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關(guān)的數(shù)據(jù)時，多數(shù)可以用勾股定理。物理上也有廣泛應(yīng)用，例如求幾個力，或者物體的合速度,運(yùn)動方向古代也是大多應(yīng)用于工程，例如修建房屋、修井、造車等等。

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2.對數(shù)方程

對數(shù)方程可以理解為指數(shù)方程的反向公式。它旨在求一個底數(shù)的多少次方可以得到給定的量。比如，以10為底1的對數(shù)表示為lg(1)=0，因為這里1 = 10o；lg(10) = 1，因為10 = 101；很自然地，lg(100) = 2。圖中公式lg(ab) = lg(a) + lg(b)展示了對數(shù)方程最有用的一個功能：將乘法轉(zhuǎn)化為加法。在現(xiàn)代數(shù)字計算機(jī)普遍應(yīng)用之前，這一直是快速計算大數(shù)乘法的便利手段，在物理學(xué)、天文學(xué)和工程學(xué)計算中起到了重要作用。

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3.微積分

圖中公式為微積分中導(dǎo)數(shù)的定義。導(dǎo)數(shù)可理解為一個數(shù)量的變化率。比如，我們可以把速度看作是位移的導(dǎo)數(shù)。如果我們步行的速度是每小時4公里，那么每個小時，我們的位移變化為4公里。實際上，很多研究都著眼于事物是如何變化的。而導(dǎo)數(shù)與積分 (微積分的另一個重要公式) 是數(shù)學(xué)家與科學(xué)家們理解變化的根本工具。

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4.萬有引力定律

牛頓的萬有引力定律描述了兩個物體間的引力作用F。其中G為萬有引力常數(shù)，m1和m2表示兩個物體的質(zhì)量，r為物體間距離。在科學(xué)史上，牛頓的這一筆有著舉足輕重的地位。它不僅解釋了地球上的重力作用，還幾乎完美地詮釋了行星的運(yùn)行方式。這已經(jīng)擴(kuò)展到了太陽系，甚至整個宇宙。牛頓的萬有引力定律作為經(jīng)典引領(lǐng)了物理學(xué)200余年，直到愛因斯坦的廣義相對論出現(xiàn)才被替代。

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5.復(fù)數(shù)

數(shù)學(xué)家們一直在對數(shù)字進(jìn)行細(xì)分，自然數(shù)、負(fù)數(shù)、小數(shù)、實數(shù)……后來，出現(xiàn)了虛數(shù)單位i，它表示-1的平方根。人們這才開始知道復(fù)數(shù)。從數(shù)學(xué)上講，復(fù)數(shù)是極為優(yōu)雅的。這種代數(shù)結(jié)構(gòu)漂亮地解決了我們的需求——任何方程都具有復(fù)數(shù)解。這對實數(shù)來說當(dāng)然是不可能的，比如x2+ 4=0這種東西。微積分也被擴(kuò)展到復(fù)數(shù)當(dāng)中，我們借此發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)字的奇妙特質(zhì)，比如對稱性。這些屬性是電子學(xué)和信號處理的重要基礎(chǔ)。

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6.歐拉多面體定理

多面體是多邊形的三維版本，好比立方體之于正方形。多面體的每個角叫做頂點，頂點的連線稱為棱，棱所形成的多邊形是面。一個立方體擁有8個頂點，12條棱和6個面。我們算一下，頂點數(shù)加上面數(shù)，再減去棱數(shù)，8+6-12=2。歐拉的多面體定理告訴我們，只要給定一個常規(guī)的多面體，那么頂點數(shù)加面數(shù)再減去棱數(shù)，結(jié)果一定是2。無論它有多少個面。這一發(fā)現(xiàn)是我們后來稱之為拓?fù)洳蛔兞康牡谝粭l內(nèi)容。在拓?fù)洳蛔兞恐?#xff0c;同類型物體的一些屬性和數(shù)量是彼此相似的。對于所有“常規(guī)的”多面體來說，V+F-E=2。這一定理以及歐拉對“柯尼斯堡七橋問題”的解答奠定了拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。這個數(shù)學(xué)的分支對近代物理學(xué)有著重要意義。

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7.正態(tài)分布

正態(tài)概率分布圖近似于鐘形曲線，在統(tǒng)計學(xué)中應(yīng)用甚廣。物理學(xué)、生物學(xué)和社會學(xué)都廣泛采用正態(tài)曲線作為不同研究對象的模型。其應(yīng)用如此廣泛的主要原因在于它可以描述大量獨立過程的行為表現(xiàn)。

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8.波動方程

波動方程描述了波的行為，比如吉他琴弦的振動，石子擲入湖水后的漣漪，或者白熾燈泡的燈光。波動方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，隨著技術(shù)發(fā)展，解決這一方程也為人們理解其他微分方程打開了一扇門。

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9.傅里葉變換

傅里葉變換是一種理解復(fù)雜波形的方法，比如人類演講的波形。像人說話這樣復(fù)雜混亂的聲波函數(shù)，通過傅里葉變換，可以被拆分為若干個簡單波形的組合。這大大簡化了分析過程。傅里葉變換可以稱為現(xiàn)代信號處理、分析以及數(shù)據(jù)壓縮的核心。

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10.納維-斯托克斯方程

像波動方程一樣，這是一個微分方程。納維-斯托克斯方程表述了流體的行為，比如水流過管道，氣流掠過機(jī)翼，或者雪茄上在冒煙。目前人們可以得到方程的近似解，并能夠通過計算機(jī)很好地模擬流體運(yùn)動。不過，能否在數(shù)學(xué)上獲得納維-斯托克斯方程的精確解仍然是一個未解決的問題。

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11.麥克斯韋方程組

這組偏微分方程描述了電場 (E) 和磁場 (H) 之間的行為與關(guān)系。麥克斯韋方程組對于經(jīng)典電磁學(xué)的意義就像牛頓的運(yùn)動定律和萬有引力定律對于經(jīng)典力學(xué)一樣重要。它們是理解我們?nèi)粘Ｉ钪须姶努F(xiàn)象的基礎(chǔ)。不過我們知道，現(xiàn)代物理學(xué)里對電磁學(xué)已經(jīng)有了量子力學(xué)層面的解釋。這些優(yōu)美的公式在宏觀世界里雖然非常適用，但這只是一種近似表達(dá)。

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12.熱力學(xué)第二定律

該定律可表述為，在一個封閉系統(tǒng)內(nèi)，熵 (S) 總是穩(wěn)定或者增長的。粗略地講，熱力學(xué)中的熵是對系統(tǒng)混亂程度的度量。一個系統(tǒng)初始是有序的，假如一塊高溫區(qū)域挨著一塊低溫區(qū)，那么非均勻狀態(tài)將趨向變?yōu)榫鶆驙顟B(tài)，即熱量會從高溫區(qū)流向低溫區(qū)，直到分布均勻。熱力學(xué)第二定律是物理學(xué)中少有的與時間相關(guān)的定律。大多數(shù)物理過程都是可逆的，我們大可以把方程倒轉(zhuǎn)過來，不會有什么影響。然而熱力學(xué)第二定律只能按照一個方向進(jìn)行。如果我們把一個冰塊放進(jìn)熱咖啡中，我們將只能看到冰塊融化，從來不會看到咖啡凍結(jié)。

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13.相對論

愛因斯坦憑借他的狹義相對論和廣義相對論徹底地改變了物理學(xué)進(jìn)程。這一經(jīng)典的方程表明質(zhì)量與能量是等同的。狹義相對論告訴人們宇宙中的速度極限是光速，而以不同速度運(yùn)動的物體所經(jīng)歷的時間也是不同的。廣義相對論則把引力看作是卷曲折疊的時空本身。這是自牛頓的萬有引力定律以來我們對引力認(rèn)識的第一次重大改變。廣義相對論是我們理解宇宙起源、宇宙結(jié)構(gòu)以及最終命運(yùn)的基礎(chǔ)。

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14.薛定諤方程

這是量子力學(xué)中的主要方程。廣義相對論在宏觀上解釋了我們的宇宙，這個方程則在微觀上主宰了原子與亞原子粒子的行為。量子力學(xué)和廣義相對論是歷史上最為卓越的兩大理論。目前所有實驗觀測到的現(xiàn)象都與這兩大理論相一致。量子力學(xué)也是眾多現(xiàn)代科技的根本，比如核能、半導(dǎo)體計算機(jī)以及激光等等。

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15.信息論

這一方程即香農(nóng)信息熵。與上述熱力學(xué)熵類似，這也是對混亂程度的測量。它測量一切可以表達(dá)的信息內(nèi)容，比如一本書，一張互聯(lián)網(wǎng)上的JPEG圖片等等。香農(nóng)信息熵給出了我們可對信息進(jìn)行無損壓縮的程度下限。這一理論引發(fā)了對信息學(xué)的數(shù)學(xué)研究，它是我們今天網(wǎng)絡(luò)交流的基礎(chǔ)。

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16.混沌理論

這一公式即生物學(xué)家Robert May的單峰映射。它最初描述的是隨著時間的演進(jìn)，種群數(shù)量將由X變?yōu)閄t+1。給定常量k，那么前景圖將是混亂的：以X為起始值，演進(jìn)過程是一種方式；但以另一個量為起始值，演進(jìn)過程將完全是另一種樣子，哪怕這個量與X非常接近。如我們所見，混沌行為對于初始條件非常敏感。天氣變化就是個經(jīng)典的例子——今天大氣層條件的微小變化將導(dǎo)致幾天后氣象系統(tǒng)的截然不同，這也可以理解為我們常說的蝴蝶效應(yīng)。

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17. 布萊克-斯科爾斯公式

作為另一個微分方程，布萊克-斯科爾斯公式描述了金融專家和交易人如何為金融衍生品定價。諸如股票之類的金融衍生產(chǎn)品是現(xiàn)代金融系統(tǒng)的重要組成部分。基于基礎(chǔ)資產(chǎn)和衍生品的屬性，布萊克-斯科爾斯公式可以幫助人們計算這些金融產(chǎn)品的價值。

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這些方程，不僅能夠幫助人們解決知識上的問題，同時，從某種角度來看，它們本身也是非常美麗的。許多科學(xué)家都曾坦承，自己非常喜歡某些方程式，并不僅僅因其功能，更在于它們所表現(xiàn)出的那種簡約而不簡單、形式如詩句般優(yōu)雅的美感。這些方程式逐漸的影響著世界文明進(jìn)程的變化發(fā)展。

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