https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4557

小R和B神正在玩一款游戲。這款游戲的地圖由N個點和N-1條無向邊組成，每條無向邊連接兩個點，且地圖是連通的。換句話說，游戲的地圖是一棵有N個節點的樹。

游戲中有一種道具叫做偵查守衛，當一名玩家在一個點上放置偵查守衛后，它可以監視這個點以及與這個點的距離在D以內的所有點。這里兩個點之間的距離定義為它們在樹上的距離，也就是兩個點之間唯一的簡單路徑上所經過邊的條數。在一個點上放置偵查守衛需要付出一定的代價，在不同點放置守衛的代價可能不同。

現在小R知道了所有B神可能會出現的位置，請你計算監視所有這些位置的最小代價。

dp狀態很好想，但是這個式子我菜我是真的推不出來，其他的巨佬切題的速度嘆為觀止，只能感嘆我的智商擺在這里。

參考：https://www.luogu.org/blog/zcysky/solution-p3267

一眼是個樹形dp，二眼$d$很小，可以直接做成一維狀態，那么直接設$f[i][j]$為$i$子樹從$i$往下$j$層都沒有覆蓋的代價，$g[i][j]$為$i$的子樹全覆蓋，往上還可以覆蓋$j$層的代價。二者正好是互補的。

（PS：層數也包括i本身，換句話說，$j=0$時$i$并沒有被覆蓋，我在這里糾結了很久。）

（PPS：既然$g[i][j]$都可以覆蓋上$j$層，那它也能覆蓋下$j$層。）

之后對于dp式子慢慢剖析因為我自己都云里霧里的。

邊界就是當點$u$為關鍵點時$f[u][0]=g[u][0]=w[u]$這個點一定是要放一個的，如果不是的話顯然我們就不需要放了，初值為0。

?

初始化就不說了。

對于每個兒子結點v，我們有：

$g[u][j]=min(g[u][j]+f[v][j],g[v][j+1]+f[u][j+1])$（所以明白f和g是互補的才能看懂）

當然也有可能出現這種的：$g[u][j]=min(g[u][j],g[u][j+1])$

推完g來推f，首先$f[u][0]=g[u][0]$因為此時二者狀態等價。

然后顯然的，$f[u][j]+=f[v][j-1]$

以及也有可能出現這種的：$f[u][j]=min(f[u][j],f[u][j-1])$

（所以其實核心還是在狀態含義上而非式子，含義搞懂式子就很顯然了。）

#include<map> #include<cmath> #include<stack> #include<queue> #include<cstdio> #include<cctype> #include<vector> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int N=5e5+5; const int D=21; const int INF=1e9; inline int read(){int X=0,w=0;char ch=0;while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X; } struct node{int to,nxt; }e[N*2]; int n,d,m,cnt,head[N],w[N]; int f[N][D],g[N][D]; bool im[N]; inline void add(int u,int v){e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt; } void dfs(int u,int fa){if(im[u])f[u][0]=g[u][0]=w[u];for(int i=1;i<=d;i++)g[u][i]=w[u];g[u][d+1]=INF;for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(v==fa)continue;dfs(v,u);for(int j=d;j>=0;j--)g[u][j]=min(g[u][j]+f[v][j],g[v][j+1]+f[u][j+1]);for(int j=d;j>=0;j--)g[u][j]=min(g[u][j],g[u][j+1]);f[u][0]=g[u][0];for(int j=1;j<=d+1;j++)f[u][j]+=f[v][j-1];for(int j=1;j<=d+1;j++)f[u][j]=min(f[u][j],f[u][j-1]);} } int main(){n=read(),d=read();for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=read();m=read();for(int i=1;i<=m;i++)im[read()]=1;for(int i=1;i<n;i++){int u=read(),v=read();add(u,v);add(v,u);}dfs(1,0);printf("%d\n",f[1][0]);return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ4557：[JLOI2016/SHOI2016]侦察守卫——题解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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