文章目錄

• 一些參考資料
• 1 微多普勒效應是什么
• 2 微多普勒效應相關模型
• • 2.1 剛體運動的微多普勒效應
  • • 2.1.1 基本模型
    • 2.1.2 平移＋旋轉
• 3 微多普勒效應的應用
• • 3.1 地面移動物體檢測
  • 3.2 導彈誘餌識別
  • 3.3 人體微動檢測
• 附 推導$u\times r=\hat{u}r$

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一些參考資料

• 《The Micro-Doppler Effect in Radar》
  從多普勒效應開始講起，全書共六章：第一章詳細介紹多普勒效應和微多普勒效應的相關內容，第二章介紹雷達中微多普勒效應應用基礎，第三、四章分別介紹剛體、非剛體運動的微多普勒效應，第五章介紹微多普勒特征分析與解釋，第六章總結與展望。
• 《Micro-Doppler Effect in Radar: Phenomenon, Model, and Simulation Study》
  感覺像是《The Micro-Doppler Effect in Radar》的縮減版。
• 《Advances in Applications of Radar Micro-Doppler Signatures》
  介紹微多普勒效應的多種應用場景。

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1 微多普勒效應是什么

??三份參考文獻里都有對微多普勒效應的定義及解釋，將《Micro-Doppler Effect in Radar: Phenomenon, Model, and Simulation Study》摘要部分對微多普勒效應的解釋摘錄如下：

?? When, in addition to the constant Doppler frequency shift induced by the bulk motion of a radar target, the target or any structure on the target undergoes micro-motion dynamics, such as mechanical vibrations or rotations, the micro-motion dynamics induce Doppler modulations on the returned signal, referred to as the micro-Doppler effect.

?? 譯：當雷達目標、目標或目標上的任何結構引起的恒定多普勒頻移除了發生機械振動或旋轉等微運動動力學時，微運動動力學對返回信號產生多普勒調制，稱為微多普勒效應。
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2 微多普勒效應相關模型

2.1 剛體運動的微多普勒效應

??剛體是沒有變形的固體的理想化。剛體的運動可以用運動學和動力學量來描述，如線速度與角速度等；其方向可以用三維歐幾里得空間中的一組歐拉角、旋轉矩陣等來表示。當剛體平移時，它的位置和方向都隨時間而變化，物體中的所有粒子都以相同的平移速度移動。當剛體旋轉時，物理上的所有粒子都會發生位置改變（除了位于旋轉軸上的粒子），因此物體中任何兩個粒子的線速度可能不相同，但角速度都是相同的。
??理論分析表明，物體的運動可以調制散射電磁波的相位函數。為了在電磁模擬中包含任何物體的運動，首先，必須通過使用運動微分方程和物體的旋轉矩陣來確定物體的軌跡和方向；然后，利用準靜態方法，將物體的運動視為在每個瞬間拍攝的一系列快照；最后，利用合適的RCS預測方法估計散射電磁場。

2.1.1 基本模型

??平移方程可寫為
$$E_T(r^{{}^{\prime }})=exp\{jk{r}_0?(u_k?u_r)\}E(r)$$
??其中，$k=2\pi /\lambda$是波數，$u_k$是入射波的單位向量，$u_r$是觀測方向的單位向量，$E(r)$是目標移動前的遠電場，$r=(U_0,V_0,W_0)$是目標在雷達坐標$(U,V,W)$中的初始坐標，$r=(U_1,V_1,W_1)$是目標移動后的坐標，且$r=r^{{}^{\prime }}+r_0$，其中$r_0$是移動向量。
?? 從平移方程可以看出，平移前后電場唯一的差異是相位因子$exp\{jk{r}_0?(u_k?u_r)\}$。如果平移向量是時間的函數，即$r_0=r_0(t)=r_0(t)u_T$，其中$u_T$是平移的單位向量，那么相位因子就可表示為
$$exp\{j\Phi (t)\}=exp\{jk{r}_0(t)u_T?(u_k?u_r)\}$$
?? 對于后向散射，觀測方向與入射波方向相反，即$u_k=?u_r$，那么
$$\exp \{j\Phi (t)\}=\exp \left\{j2k{r}_0(t)u_T?u_k\right\}$$
如果平移方向垂直于入射波方向，且相位函數為零（$exp\{\Phi (t)\}=1$）。
?? 當雷達以載波頻率$f$發射電磁波時，雷達接收到的信號可以表示為
$$s(t)=\exp \left\{j2k{r}_0(t)u_T?u_k\right\}\exp \{?j2\pi ft\}|E(r)|$$
其中，相位因子$\exp \left\{j2k{r}_0(t)u_T?u_k\right\}$定義了由運動$r_0(t)$引起的微多普勒效應的調制。如果運動是由$r_0(t)=A\cos \Omega t$給出的振動，那么相位因子成為一個以$\Omega$為角振動頻率的時間周期函數：
$$\exp \{j\Phi (t)\}=\exp \left\{j2kA\cos \Omega t{u}_T?u_k\right\}$$
?? 相位函數可以通過引入微運動來進行數學表示，以加強傳統的多普勒分析。讓我們將一個目標表示為一組點散射體，它們代表目標上的主要散射中心。為簡單起見，假設所有的散射體都是反射被截獲的所有能量的完美反射器。

2.1.2 平移＋旋轉

?? 如上圖所示，雷達靜止，位于雷達坐標系$（U、V、W）$的原點Q處。目標在其附加的局部坐標系$(x、y、z)$中被描述，并相對于雷達坐標具有平移和旋轉。為了觀察目標的旋轉，引入了參考坐標系$(X、Y、Z)$，該系統與目標局部坐標具有相同的原點，因此與目標具有相同的平移，但相對于雷達坐標沒有旋轉。假設參考坐標的原點O在距離雷達的距離為$R_0$處。
?? 假定目標為以速度$V$平移、以角速度$\omega$旋轉的剛體，可在目標局部坐標系里表示為$\omega ={\left({\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z\right)}^T$，或者在參考坐標系中表示為$\omega ={\left({\omega }_X,{\omega }_Y,{\omega }_Z\right)}^T$。
?? 圖中的運動可以分解為兩個步驟：1）以速度$V$從$P$平移到$P^{{}^{\prime \prime }}$，$O{O}^{\prime }=Vt$；2）以角速度$\omega$從$P^{{}^{\prime \prime }}$旋轉至$P^{{}^{\prime }}$。如果從參考坐標系中觀察運動，粒子$P$位于$r_0={\left(X_0,Y_0,Z_0\right)}^T$，從$P^{{}^{\prime \prime }}$到$P^{{}^{\prime }}$的旋轉通過旋轉矩陣${?}_t$描述。在t時刻$P^{{}^{\prime }}$的位置表示為
$$r=O^{\prime }{P}^{\prime }={?}_t{O}^{\prime }{P}^{\prime \prime }={?}_t{r}_0$$
?? 而
$$Q{P}^{\prime }=QO+O{O}^{\prime }+O^{\prime }{P}^{\prime }=R_0+Vt+{?}_t{r}_0$$
$$r(t)=\Vert R_0+Vt+{?}_t{r}_0\Vert$$
其中$\Vert ?\Vert$為歐幾里得范數。
??如果雷達傳輸載波為正弦波，從$P$返回的基帶信號為
$$\begin{array}{rl}s(t)& =\rho (x,y,z)\exp \left\{j2\pi f\frac{2r(t)}{c}\right\}\\ & =\rho (x,y,z)\exp \{j\Phi [r(t)]\}\end{array}$$
其中，$\rho (x,y,z)$為局部坐標系中點散射體$P$的反射率函數，$c$為電磁波傳播速度，基帶信號的相位為
$$\Phi [r(t)]=2\pi f\frac{2r(t)}{c}$$
??通過取相位的時間導數，得到了由目標運動引起的多普勒頻移
$$\begin{array}{rl}{f}_D& =\frac{1}{2\pi }\frac{d\Phi (t)}{dt}=\frac{2f}{c}\frac{d}{dt}r(t)\\ & =\frac{2f}{c}\frac{1}{2r(t)}\frac{d}{dt}\left[{\left(R_0+Vt+{?}_t{r}_0\right)}^T\left(R_0+Vt+{?}_t{r}_0\right)\right]\\ & =\frac{2f}{c}{\left[V+\frac{d}{dt}\left({?}_t{r}_0\right)\right]}^{T}n\end{array}$$
其中，$n=\left(R_0+Vt+{?}_t{r}_0\right)/\left(\Vert R_0+Vt+{?}_t{r}_0\Vert \right)$是$Q{P}^{\prime }$的單位向量。
在參考坐標系中，角旋轉速度矢量：$\omega ={\left({\omega }_X,{\omega }_Y,{\omega }_Z\right)}^T$，且目標以標量角速度$\Omega =\Vert \omega \Vert$沿單位矢量${\omega }^{\prime }=\omega /\Vert \omega \Vert$旋轉。假設有一個較高的脈沖重復頻率(PRF)和一個相對較低的角速度，可以認為在每個較小的時間間隔內的旋轉運動是微小的，那么
$${?}_t=\exp \{\hat{\omega }t\}$$
其中，$\hat{\omega }$是與$\omega$相關的斜對稱矩陣，因此，多普勒頻移就改寫為
$$\begin{array}{rl}{f}_D& =\frac{2f}{c}{\left[V+\frac{d}{dt}\left(e^{\hat{\omega }t}{r}_0\right)\right]}^{T}n=\frac{2f}{c}{\left(V+\hat{\omega }{e}^{\hat{\omega }t}{r}_0\right)}^{T}n\\ & =\frac{2f}{c}(V+\hat{\omega }r{)}^{T}n=\frac{2f}{c}(V+\omega \times r{)}^{T}n\end{array}$$
如果$\Vert R_0\Vert ?\Vert Vt+{?}_{t}r\Vert$，$n$可以近似為$n=R_0/\Vert R_0\Vert$，這是雷達LOS的方向。因此，多普勒頻移近似為
$$f_D=\frac{2f}{c}[V+\omega \times r{]}_{\text{radial?}}$$
式中，第一項是平移引起的多普勒頻移，第二項是旋轉引起的微多普勒：
$$f_{\text{micro-Doppler?}}=\frac{2f}{c}[\omega \times r{]}_{\text{radial?}}$$
?

3 微多普勒效應的應用

3.1 地面移動物體檢測

3.2 導彈誘餌識別

??彈道導彈的總體飛行軌跡可分為三個階段。在第一階段，彈頭和彈體沒有分離，各種誘餌也沒有釋放。在第二階段，輕餌和碎屑的運動是不規則的，沒有穩定的微運動。重餌在翻滾或擺動。真實彈頭與彈體分離后，彈頭會旋轉以穩定姿態和軌道，但在釋放誘餌和其他穿透物體后，彈頭會因釋放干擾而出現一定的進動和章動現象。進入最后階段后，真正的彈頭仍將旋轉、進動和章動，而重型誘餌將繼續搖擺和滾動。

??彈道導彈彈頭的進動和章動以及誘餌的搖擺運動是兩種典型的微動。第一幅圖是進動產生的微多普勒的理論值。第二個是章動產生的微多普勒的理論值。

3.3 人體微動檢測

??活體存在呼吸和心跳。在研究人類反射的雷達信號時，雷達觀測到了由心跳、呼吸引起的胸部運動，甚至喉部振動引起的特定微多普勒調制。

??還有一些其他的應用，不補充了…

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附 推導$u\times r=\hat{u}r$

??給定一個向量$u={\left[u_x,u_y,u_z\right]}^T$，定義一個斜矩陣
$$\hat{u}=?\begin{array}{ccc}0& ?u_z& u_y\\ u_z& 0& ?u_x\\ ?u_y& u_x& 0\end{array}?$$
??向量$u$和任意向量$r$的交叉積可以通過矩陣計算求解
$$u\times r=?\begin{array}{c}{u}_y{r}_z?u_z{r}_y\\ u_z{r}_x?u_x{r}_z\\ u_x{r}_y?u_y{r}_x\end{array}?=?\begin{array}{ccc}0& ?u_z& u_y\\ u_z& 0& ?u_x\\ ?u_y& u_x& 0\end{array}??\begin{array}{c}{r}_x\\ r_y\\ r_z\end{array}?=\hat{u}r$$
??這種關系在分析特殊的正交矩陣群或SO（3）旋轉群時很有用，也稱為三維旋轉矩陣。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的微多普勒效应的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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