中圖分類號:F502 文獻標識:A 文章編號:1009-4202(2010)10-286-02

摘 要 運輸問題是運籌學的經典問題,而表上作業法是運輸問題中的重要算法,具有廣泛的應用.本文對運輸問題表上作業法進行了一些必要的探討,利用閉回路的唯一性,給出了一種新的閉回路構建方法,簡化了求解運輸問題最優解的過程。

關鍵詞 運輸問題 運籌學 表上作業法 閉回路

一、引言

運輸問題的數學模型為:

設某產品有 個產地 和 個銷地 .在產地 的產量為 ,在銷地 的銷量為 ,從 到 運送一個單位貨物的運費為 .假設產銷平衡,即 ,試確定一個調運方案,使總運費最小。

假設產地 供給銷地 的貨物量為 ,上述問題可用以下數學模型表示:

的前 行對應 個產地,后 行對應 個銷地。 的增廣矩陣記作 。由于產銷不平衡運輸問題均可轉化為產銷平衡運輸問題,因此本文僅研究產銷平衡運輸問題。

二、運輸問題的基本性質

定理1:銷平衡的運輸問題必存在有限最優解。

定理2:運輸問題的系數矩陣 和增廣矩陣 的秩均為 。

定理3:運輸問題中, 的任何方子矩陣的行列式為-1,0或1。

三、表上作業法求解運輸問題

運輸問題是線性規劃問題的特殊情形,其約束條件具有特殊結構,除了可用一般的單純形方法求解外,還可用簡單有效的表上作業法求解.表上作業法就是一種求解運輸問題的有效的迭代法.按照迭代法的基本思想,表上作業法的步驟可歸納如下:

(1)確定初始基本可行解,得到 個基變量。

求解初始基本可行解的方法很多,最常見的是西北角法,最小元素法和差額法。一般情況,差額法確定的基本可行解質量最好,最接近最優解。

(2)判定是否最優。用位勢法判別可行解是否為最優解,如果所有判別數非正,說明得到最優解,否則轉入(3)。

(3)若是最優,則問題得解;若不是最優,則按閉回路法對運輸方案進行調整。

a.從具有最大的判別數的空格作為閉回路的第一格.

b.第二格的確定。找出基向量,找基向量中與第一格中同在的行(列)的元素,作為第二格。

c.第k格的確定。在基向量中尋找,與第k-1格同在一列(行)的元素,若存在,則選擇其一作為第k格,令k=k+1,轉入第d步;否則令k=k-1,轉入第d步。

d.找與第k-1格同在一行(列)的元素,判斷是否與第k格在同一列(行),若在同一列(行),則得到閉回路;否則轉入第c步。

四、實例

給定運輸問題如表1,其中 為產地, 為產量, 為銷地, 為銷量,每個方格右上角數字為費用系數 ,試確定一個運輸方案,使總運輸費用最小。

解:首先用差額法求初始基本可行解,計算結果如表2,其基變量為( )=(0,10,1,11,4,5)目標函數值為f=148。

五、總結

運輸問題是運籌學的經典問題,而表上作業法是運輸問題中的重要算法,具有廣泛的應用.本文主要提出了閉回路構建的新算法,改進了之前的算法涉及到每個格,降低了構建閉回路的計算時間。

參考文獻:

[1]陳寶林.最優化理論與算法.清華大學出版社.2005.

[2]錢頌迪.運籌學.清華大學出版社.北京.1990.

[3]韓偉一.運輸問題表上作業法的一點駐記.運籌與管理.2009.18(4):7-9.

總結

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