1 引言

??在工程實踐中,一個工程項目往往由若干個子項目組成。這些子項目間往往有兩種關系:
??(1) 先后關系，即必須在某個項完成后才能開始實施另一個子項目。
??(2) 子項目間無關系，即兩個子項目可以同時進行,互不影響。

??例如：在工廠里產品的生產線上，一個產品由若干個零部件組成。零部件生產時，也存在這兩種關系:
??(1)先后關系，即一個部件必須在完成后才能生產另一個部件;
??(2)部件間無先后關系，即這兩個部件可以同時生產。
??那么如何合理的分配資源才能保證工程能夠按時完成呢？將任務作為圖的頂點，將任務之間的依賴關系作為圖的邊，這樣就可以將實際問題抽象為數據結構圖論中的典型問題——圖的拓撲排序。

2 重要概念

??有向無環圖(Directed Acyclic Graph, DAG)是有向圖的一種，字面意思的理解就是圖中沒有環。常常被用來表示事件之間的驅動依賴關系，管理任務之間的調度。AOV網：在每一個工程中，可以將工程分為若干個子工程，這些子工程稱為活動。如果用圖中的頂點表示活動，以有向圖的弧表示活動之間的優先關系，這樣的有向圖稱為AOV網，即頂點表示活動的網。在AOV網中，如果從頂點vi到頂點j之間存在一條路徑，則頂點vi是頂點vj的前驅，頂點vj是頂點vi的后繼。活動中的制約關系可以通過AOV網中的表示。 在AOV網中，不允許出現環，如果出現環就表示某個活動是自己的先決條件。因此需要對AOV網判斷是否存在環，可以利用有向圖的拓撲排序進行判斷。拓撲序列：設G=(V,E)是一個具有n個頂點的有向圖，V中的頂點序列v1,v2,…,vn,滿足若從頂點vi到vj有一條路徑，則在頂點序列中頂點vi必在vj之前，則我們稱這樣的頂點序列為一個拓撲序列。拓撲排序：拓撲排序是對一個有向圖構造拓撲序列的過程。

3 拓撲排序

??拓撲排序(Topological Sorting)是一個有向無環圖(DAG, Directed Acyclic Graph)的所有頂點的線性序列。且該序列必須滿足下面兩個條件：
??(1)每個頂點出現且只出現一次。
??(2)若存在一條從頂點 A 到頂點 B 的路徑，那么在序列中頂點 A 出現在頂點 B 的前面。
??注：有向無環圖(DAG)才有拓撲排序，非DAG圖沒有拓撲排序一說。

4 入度表法

??入度表法是根據頂點的入度來判斷是否存在依賴關系。若頂點入度不為0。則必然此頂點的事件有前驅依賴事件，因此每次選取入度為0的頂點輸出，則符合拓撲排序的性質。

4.1 算法流程

(1)從圖中選擇一個入度為0的頂點，輸出該頂點。
(2)從圖中刪除該節點及其所有出邊(即與之鄰接的所有頂點入度-1)
(3)反復執行這兩個步驟，直至所有節點都輸出，即整個拓撲排序完成；或者直至剩下的圖中再沒有入度為0的節點，這就說明此圖中有回路，不可能進行拓撲排序。

4.2 實例圖解

例如：圖4.2.1所示的有向無環圖，采用入度表的方法獲取拓撲排序過程。

4.2.1
(1)選擇圖中入度為0的頂點1，輸出頂點1。刪除頂點1，并刪除以頂點1為尾的邊。刪除后圖為：
(2)繼續選擇入度為0的頂點。現在，圖中入度為0的頂點有2和4，這里我們選擇頂點2，輸出頂點2。刪除頂點2，并刪除以頂點2為尾的邊。刪除后圖為：
(3)選擇入度為0的頂點4，輸出頂點4.刪除頂點4，并刪除以頂點4為尾的邊。刪除后圖為：
(4)選擇入度為0的頂點3，輸出頂點3.刪除頂點3，并刪除以頂點3為尾的邊。刪除后圖為：
(5)最后剩余頂點5，輸出頂點5，拓撲排序過程結束。最終的輸出結果為：

4.3 性能分析

??算法時間復雜度分析：統計所有節點入度的時間復雜性為(VE)；接下來刪邊花費的時間也是(VE)，總花費時間為O(VE)。若使用隊列保存入度為0的頂點，則可以將這個算法復雜度將為O(V+E)。

5 DFS方法

??深度優先搜索過程中，當到達出度為0的頂點時，需要進行回退。在執行回退時記錄出度為0的頂點，將其入棧。則最終出棧順序的逆序即為拓撲排序序列。

5.1 算法流程

(1)對圖執行深度優先搜索。
(2)在執行深度優先搜索時，若某個頂點不能繼續前進，即頂點的出度為0，則將此頂點入棧。
(3)最后得到棧中順序的逆序即為拓撲排序順序。

5.2 實例圖解

例如圖5.2.1所示的有向無環圖，采用DFS的方法獲取拓撲排序過程。

5.2.1
(1)選擇起點為頂點1,，開始執行深度優先搜索。順序為1->2->3->5。
(2)深度優先搜索到達頂點5時，頂點5出度為0。將頂點5入棧。
(3)深度優先搜索執行回退，回退至頂點3。此時頂點3的出度為0，將頂點3入棧。
(4)回退至頂點2，頂點2出度為0，頂點2入棧。
(5)回退至頂點1，頂點1可以前進位置為頂點4，順序為1->4。
(6)頂點4出度為0，頂點4入棧。
(7)回退至頂點1，頂點1出度為0，頂點1入棧。
(8)棧的逆序為1->4->2->3->5。此順序為拓撲排序結果。

5.3 性能分析

??時間復雜度分析：首先深度優先搜索的時間復雜度為O(V+E)，而每次只需將完成訪問的頂點存入數組中，需要O(1)，因而總復雜度為O(V+E)。

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總結

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