算法圖解第八章筆記與習題（貪婪算法）

文章目錄

• 算法圖解第八章筆記與習題（貪婪算法）
• • 8.1 貪婪算法
  • 8.2 集合覆蓋問題
  • 8.3 NP完全問題
  • • 8.3.1 旅行商問題：
    • 8.3.2 如何識別NP完全問題
    • 8.4 小結
  • 練習
  • • 習題8.1：
    • • 習題8.2：
      • 習題8.3-5題干：
      • 習題8.3：
      • 習題8.4：
      • 習題8.5：
      • 習題8.6：
      • 習題8.7：
      • 習題8.8：

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8.1 貪婪算法

貪婪算法：對于一個問題，根據問題要求的目標，每步都選擇局部最優解。在某些特定的情況下，貪婪算法能夠得到最優解，但通常只能能夠得到一個接近最優解的解。

舉例：從十個數中選擇五個使其和最大1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。

根據問題要求的目標（和最大），每步都選擇局部最優解（從未被選擇的數中選擇最大的那個數）。對于這個簡單的情況來說，貪婪算法將得到最優解10+9+8+7+6=40。但對于更復雜的情況來說，通常會得到一個接近最優解的解。

8.2 集合覆蓋問題

假設現在有個廣播節目，要讓全美國50個州的聽眾都收聽得到，為此，需要決定在哪些廣播臺播出。在每個廣播臺播出都需要支付費用，因此必須在盡可能少的廣播臺播出。現有廣播臺名單如下：

每個廣播臺都覆蓋特定的區域，不同廣播臺的覆蓋區域可能重疊。

那么找出覆蓋全美50個州的最小廣播臺合集呢？下面是解決步驟：

列出每個可能的廣播臺集合，這被稱為冪集（power set）。可能的子集有$2^n$個。

在這些集合中，選出覆蓋全美50個州的最小集合。

這樣做固然能找到最優解，但其時間復雜度為$O(2^n)$，其中n為廣播臺數量。在這種情況下，我們可以使用貪婪算法來解決這個問題。步驟如下：

選出這樣一個廣播臺，即它覆蓋了最多未覆蓋的州。即便這個廣播臺覆蓋了一些已覆蓋的州（就是重復覆蓋），也沒有關系。

重復第一步，直到覆蓋了所有的州。

這是一種近似算法（approximation algorithm）。在獲得精確解需要的時間太長時，可以考慮使用近似算法。判斷近似算法優劣的標準如下：

• 速度有多快；
• 得到的近似解與最優解的接近程度。

因此貪婪算法是一個不錯的選擇，它們不僅簡單，而且通常運行速度很快。在本例中，貪婪算法的運行時間為$O(n^2)$，其中n為廣播臺數量。

代碼如下：

# 創建一個列表，其中包含要覆蓋的州 states_needed = set(["mt", "wa", "or", "id", "nv", "ut", "ca", "az"]) # 傳入一個數組，被轉換為集合stations = {} stations["kone"] = set(["id", "nv", "ut"]) stations["ktwo"] = set(["wa", "id", "mt"]) stations["kthree"] = set(["or", "nv", "ca"]) stations["kfour"] = set(["nv", "ut"]) stations["kfive"] = set(["ca", "az"])final_stations = set() # 使用一個集合來存儲最終選擇的廣播臺while states_needed:best_station = None # 將覆蓋了最多的未覆蓋州的廣播臺存儲進去states_covered = set() # 一個集合，包含該廣播臺覆蓋的所有未覆蓋的州for station, states in stations.items(): # 循環迭代每個廣播臺并確定它是否是最佳的廣播臺covered = states_needed & states # 計算交集if len(covered) > len(states_covered): # 檢查該廣播臺的州是否比best_station多best_station = station # 如果多，就將best_station設置為當前廣播臺states_covered = coveredstates_needed -= states_covered # 更新states_neededfinal_stations.add(best_station) # 在for循環結束后將best_station添加到最終的廣播臺列表中print(final_stations) # 打印final_stations set(['ktwo', 'kthree', 'kone', 'kfive']) #（算法也可以用未被覆蓋的州來做比較，未被覆蓋的州越少，則該廣播臺是局部更優的廣播臺。）

上述代碼中，set()是一種集合，類似于列表，但相同的元素在其中出現一次，也沒有索引供查找。

另外，還涉及到了數學中交集的計算&，以及集合間相見-=。具體不做詳細介紹。

使用上述貪婪算法的運行時間僅為$O(n^2)$，比起遍歷所有子集來獲得精確解的精確算法$O(2^n)$來說非常快。

8.3 NP完全問題

8.3.1 旅行商問題：

旅行商問題是指，旅行商需要在一次旅行中途徑多個不同的城市，如何求解其最短路徑。

對于 1 個城市而言，僅有 1 條可能的路徑。

對于 2 個城市而言，有 2 個可能的起點X每個出發的城市1條可能的路徑 = 2條可能的路徑。

對于 3 個城市而言，有 3 個可能的起點X每個出發的城市2條可能的路徑 = 6條可能的路徑。

對于 4 個城市而言，有 4 個可能的起點X每個出發的城市6條可能的路徑 = 24條可能的路徑。

對于 5 個城市而言，有 5 個可能的起點X每個出發的城市24條可能的路徑 = 120條可能的路徑。

……

這是一個階乘函數（factorical function），當涉及的城市越多時，可能的路徑條數增加的非常快。因此當涉及的城市足夠多時，根本就難以計算出旅行商問題的正確解。

NP完全問題的簡單定義是，以難著稱的問題，如旅行商問題和集合覆蓋問題。（？）

8.3.2 如何識別NP完全問題

NP完全問題無處不在！如果能夠判斷出要解決的問題屬于NP完全問題就好了，這樣就不用去尋找完美的解決方案，而是使用近似算法即可。但要判斷問題是不是NP完全問題很難，易于解決的問題和NP完全問題的差別通常很小。

但事實是沒辦法判斷問題是不是NP完全問題，但還是有跡可循的：

• 元素較少時算法的運行速度非常快，但隨著元素數量的增加，速度會變得非常慢。
• 涉及“所有組合”的問題通常是NP完全問題。
• 不能將問題分成小問題，必須考慮各種可能的情況。這可能是NP完全問題。
• 如果問題涉及序列（如旅行商問題中的城市序列）且難以解決，它可能就是NP完全問題。
• 如果問題涉及集合（如廣播臺集合）且難以解決，它可能就是NP完全問題。
• 如果問題可轉換為集合覆蓋問題或旅行商問題，那它肯定是NP完全問題。

8.4 小結

• 貪婪算法尋找局部最優解，企圖以這種方式獲得全局最優解。
• 對于NP完全問題，還沒有找到快速解決方案。
• 面臨NP完全問題時，最佳的做法是使用近似算法。
• 貪婪算法易于實現、運行速度快，是不錯的近似算法。

練習

習題8.1：

• 你在一家家具公司工作，需要將家具發往全國各地，為此你需要將箱子裝上卡車。每個箱子的尺寸各不相同，你需要盡可能利用每輛卡車的空間，為此你將如何選擇要裝上卡車的箱子呢？請設計一種貪婪算法。使用這種算法能得到最優解嗎？

將剩余箱子中最大的一個裝入箱子，直到將所有的箱子裝入卡車為止。使用這種算法不能找到最優解。

習題8.2：

• 你要去歐洲旅行，總行程為7天。對于每個旅游勝地，你都給它分配一個價值——表示你有多想去那里看看，并估算出需要多長時間。你如何將這次旅行的價值最大化？請設計一種貪婪算法。使用這種算法能得到最優解嗎？

從剩余未去過的旅游勝地中選擇價值最高的，直至時間用完為止。使用這種算法不能找到最優解。

習題8.3-5題干：

• 下面各種算法是否是貪婪算法。

習題8.3：

• 快速排序。

不是。

習題8.4：

• 廣度優先搜索。

是。

習題8.5：

• 狄克斯特拉算法。

是。

習題8.6：

• 有個郵遞員負責給20個家庭送信，需要找出經過這20個家庭的最短路徑。請問這是一 個NP完全問題嗎？

是。可轉化為旅行商問題。

習題8.7：

• 在一堆人中找出最大的朋友圈（即其中任何兩個人都相識）是NP完全問題嗎？

是。可轉化為集合覆蓋問題。

習題8.8：

• 你要制作美國地圖，需要用不同的顏色標出相鄰的州。為此，你需要確定最少需要使用多少種顏色，才能確保任何兩個相鄰州的顏色都不同。請問這是NP完全問題嗎？

不是。（圖著色問題，是NP完全問題。）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法图解第八章笔记与习题（贪婪算法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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