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牛顿插值法及其C++实现

發布時間：2023/12/10 c/c++ 34 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了牛顿插值法及其C++实现小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

牛頓插值法

一、背景引入

相信朋友們，開了拉格朗日插值法后會被數學家的思維所折服，但是我想說有了拉格朗日插值法還不夠，因為我們每次增加一個點都得重算所有插值基底函數，這樣會增加計算量，下面我們引入牛頓插值法，這種插值法，添加一個插值結點我們只要做很小的變動便可以得到新的插值多項式。

二、理論推導

-均差的定義：

（一階均差)

二階均差為一階均差再求均差。（顯然是遞推的)

一般地，函數f 的k階均差定義為：

由均差的性質可以推導出：

k+1階均差:

?(具體性質看:《數值分析：第5版》 page:30)

由均差的遞推性，我們可以用以下表來求:

求表的公式：

table[i][j] = (table[i - 1][j] - table[i - 1][j - 1]) / (x[j] - x[j - i]);

其中P（x) 為插值多項式，而R（x) 為插值余項。

所以p（x）：

（由于圖片問題此處P（x) 同N(x))

三、代碼實現

由以上推導可知，求牛頓插值多項式子主要就是求均差。

均差可由上表遞推求得：

求表的公式：

table[i][j] = (table[i - 1][j] - table[i - 1][j - 1]) / (x[j] - x[j - i]);

#include <iostream> using namespace std; #include <vector> inline double newton_solution(double x[], double y[], int n, double num, int newton_time) {vector<vector<double> > table(n + 1);for (int i = 0; i <= n; i++) {table[i].resize(n + 1);}for (int i = 0; i <= n; i++) table[0][i] = y[i];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i; j <= n; j++) {table[i][j] = (table[i - 1][j] - table[i - 1][j - 1]) / (x[j] - x[j - i]);}}double res = 0.0;for (int i = 0; i <= newton_time; i++) {double temp = table[i][i];for (int j = 0; j < i; j++) {temp *= num - x[j];}res += temp;}return res;} int main(int argc, char const *argv[]) {int n = 0;cout << "插值節點個數-1:";cin >> n;double x[n + 1], y[n + 1];cout << "\n請輸入x[i]:";for (int i = 0; i <= n; i++) {cin >> x[i];}cout << "\n請輸入y[i]:";for (int i = 0; i <= n; i++) {cin >> y[i];}double num = 0;cout << "\n請輸入要求的點的x:";cin >> num;cout << "\n請輸入所求的插值多項式次數:";double newton_time = 0;cin >> newton_time;cout << newton_solution(x, y, n, num, newton_time) << endl;return 0;

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