灰色馬爾科夫模型matlab

• 灰色預測GM(1,1)
• 模型檢驗
• 灰色馬爾科夫預測模型
• 仿真結果
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灰色預測GM(1,1)

• 對待預測序列$X_0=\{x_{0,1},x_{0,2},?,x_{0,n}\}$，生成$X_0$的一次累加序列$X_1=\{x_{1,1},x_{1,2},?,x_{1,n}\}$,其中：
  $$x_{1,k}=\sum _{t=1}^k{x}_{0,i}(k=1,2,?,n)$$
• 對原始數據進行級比檢驗。先計算原始數據的級比${\rho }_k$序列：
  $${\rho }_k=\frac{x_{0,k?1}}{x_{0,k}}(k=2,?,n)$$
• 再判斷${\rho }_k$ 是否均在可容性覆蓋區間$?=(e^{?2/(n+1)},e^{2/(n+1)})$內。若是，則相應數據序列可以建立灰色$GM(1,1)$模型; 否則，應選取適當的常數 $b$對該組數據進行平移轉換處理，使處理后的數據序列 $Y_0=y_{0,1},y_{0,2},?,y_{0,n}$ 的級比落入可容性覆蓋區間內，其平移轉換過程為:
  $$y_{0,k}=x_{0,k}+b$$
  通過一次累加序列 $X_1$，建立南四湖灰色$GM(1，1)$ 模型的一階微分方程:
  $$\frac{d{X}_1}{dt}+\alpha X_1=q$$
  式中:$\alpha ,q$分別為發展系數和灰色作用量。
• 設$a=(\alpha ,q{)}^T$運用最小二乘法，求解：
  $$a=(\alpha ,q{)}^T=(B^{T}B{)}^{?1}{B}^{T}D$$
  其中$$B=?\begin{array}{ll}?0.5(x_1+x_2)& 1\\ ?& ?\\ (?0.5x_{n?1}+x_n)& 1\end{array}?D=\left[\begin{array}{l}{x}_{0,2}\\ x_{0,0,2}\end{array}\right]$$
• 得到灰色 GM( 1，1) 模型:
  $${\hat{x}}_{1,k+1}=(x_{0,1}?\frac{q}{\alpha })e^{?ak}+\frac{q}{\alpha }$$
• 將累加值${\hat{x}}_{1,k+1}$經過一次累減還原成預測值${\hat{x}}_{0,k+1}$
  $${\hat{x}}_{0,k+1}={\hat{x}}_{1,k+1}?{\hat{x}}_{1,k}$$

模型檢驗

為了檢驗模型的可信度，需對預測值進行后驗差檢驗。建立一階殘差序列:
$$\begin{gathered} E_0=\{e_{0,1},e_{0,2},?,e_{0,n}\}= \\ \{{\hat{x}}_{0,2}?{\hat{x}}_{0,2},{\hat{x}}_{0,3}?{\hat{x}}_{0,3},?,{\hat{x}}_{0,k}?{\hat{x}}_{0,k},{\hat{x}}_{0,k}\} \end{gathered}$$
原始數據序列的方差為 $s_1$，殘差序列 $E_0$的方差為 $s_2$，分別計算后驗比 $c$ 與小誤差概率 $p$:
$$\begin{gathered} c=\frac{s_2}{s_1} \\ p=\{14_{0,k}?A_0|<0.6745s_1\} \end{gathered}$$
其中$p$和$c$的大小共同決定模型精度等級。表給出了 4 級好、合格、基本合格和不合格的模型精度等級。模型$c$越小，$p$越大，則模型精度高。$c$越小，則$s_1$越大、$s_2$越小，即原始數據序列離散程度大，殘差序列離散程度小，由模型所得預測值與原始數據相差小，$p$ 值越大則表明預測值較為均勻。若檢驗精度等級符合要求，則建立的灰色 $GM(1，1)$ 模型可直接預測數據; 若精度等級不符合，則對預測數據進行修正。

灰色馬爾科夫預測模型

對$E_0$建立灰色$GM(1，1)$模型:
$${\hat{e}}_{1,k+1}=(e_{0,2}?\frac{q^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }})e^{?{\alpha }^{\prime t}}+\frac{q^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}(k=2,3,?,n)$$
將模型進行累減還原，得到殘差修正值 ${\hat{e}}_{0,k+1}$:
$${\hat{e}}_{0,k+1}={\hat{e}}_{1,k+1}?{\hat{e}}_{1,k}$$
采用殘差修正值 ${\hat{e}}_{0,k+1}$ 對傳統GM( 1，1) 模型預測值進行修正，得到修正后的:
$${\hat{x}}_{0,k}^{\prime }={\hat{x}}_{0,k}+m_{0,k}{\hat{e}}_{0,k+1}$$
其中：
$$m_{0,k}=\{\begin{array}{ll}1& (x_{0,k}?x_{0,k}>0)\\ ?1& (x_{0,k}?x_{0,k}<0)\end{array}$$
引入灰色馬爾科夫模型判斷 $m_{0,k}$ 的正負。適用于預測隨機變化無規律的數據，彌補了傳統 $GM(1，1)$ 模型對波動性和趨勢性數據預測精度低的不足。其計算過程如下:

• 根據 $E_0$ 劃分狀態。本文劃分兩種狀態，狀態 1 表示殘差為正，狀態 2 表示殘差為負。
• ． 求從狀態 $i$ 轉移到狀態 $j$ 經過的次數所占的概率 $p_{ij}$:
  $$p_{ij}=\frac{M_{ij}}{M_i}(i=1,2;j=1,2)$$
  式中:$M_{ij}$為狀態$i$轉移到狀態$j$經過的次數;$M_i$為狀態$i$出現的總次數。根據式得到狀態轉移矩陣$P$
  $$P=\left[\begin{array}{ll}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& p_{22}\end{array}\right]$$
• 選定殘差序列最后一個值的狀態作為初始狀態向量 ${\mu }_0$。設 ${\mu }_0=({\mu }_{0,1},{\mu }_0,2)$，其中 ${\mu }_{0,1},{\mu }_{0,2}$分別代表處于狀態 1 和狀態 2 時的概率。即最后一個殘差值若為正，${\mu }_0=(1，0)$ ; 若為負，${\mu }_0=(0，1)$ 。
• 根據${\mu }_t={\mu }_0{P}^t$求出經過$t$次狀態轉移后，第$t$次的狀態概率。選取概率最大的狀態作為最終結果，若兩種狀態概率相等，取前一次計算的結果:

仿真結果

matlab源碼

https://mianbaoduo.com/o/bread/YpWWkphs源碼

總結

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