文章目錄

• 群介紹
• • 正方形的對稱性
  • 二面體群
• 群定義和性質(zhì)
• • 二元操作
  • 群定義
  • • 例子
  • 群性質(zhì)
  • • Theorem 2.1 群單位元唯一
    • Theorem 2.2 消去律
    • Theorem 2.3 群逆元唯一
    • 一些簡寫
    • Theorem 2.4 Socks-Shoes property
• 有限群和子群
• • 常用記號和定義
  • • 階
    • 子群
  • 子群檢驗方法
  • • Theorem 3.1 One-Step Subgroup Test
    • Theorem 3.2 Two-Step Subgroup Test
    • • 一個重要例子——一種子群生成方式
    • Theorem 3.3 Finite Subgroup Test
  • 一些重要子群
  • • Theorem 3.4 $?a?$是子群
    • 群的中心（Center of a Group）
    • 群中心化子（Centralizer of $a$ in $G$）

群介紹

正方形的對稱性

考慮這樣一個問題，以某些方式移動一個正方形，最終使這個正方形與初始對比看不出變化，為實現(xiàn)這個目的，我們對正方形可以做哪些凈作用(net effect)？
很明顯，我們可以總結(jié)出八種移動方式：

• $R_0$，繞中心旋轉(zhuǎn)$0$度
• $R_{90}$，繞中心旋轉(zhuǎn)$90$度
• $R_{180}$，繞中心旋轉(zhuǎn)$180$度
• $R_{270}$，繞中心旋轉(zhuǎn)$270$度
• $H$，沿水平對稱軸翻轉(zhuǎn)
• $V$，沿垂直對稱軸翻轉(zhuǎn)
• $D$，沿主對角線翻轉(zhuǎn)
• $D^{\prime }$，沿次對角線翻轉(zhuǎn)

仔細思考可以發(fā)現(xiàn)，這$8$種運動中，某些運動可以看作其他運動的依次作用的結(jié)果，如$D=H{R}_{90}$，先逆時針旋轉(zhuǎn)90度，再水平翻轉(zhuǎn)，等價于沿主對角線翻轉(zhuǎn)。
我們將這$8$種運動以及所有他們的復(fù)合的集合，構(gòu)成一種新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，叫做$8$階二面體群(dihedral group of order 8)，記為：$D_4$

接下來可以以$D_4$群為例，觀察一下群的性質(zhì)。

觀察一下群元素復(fù)合的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)所有復(fù)合的結(jié)構(gòu)仍屬于那$8$種運動，代數(shù)上來說，就是這個群存在這樣的性質(zhì)，$A,B\in D_4\to AB\in D_4$，這叫做封閉性。

可以注意到，任何運動$M$以任何先后順序與$R_0$復(fù)合，結(jié)果都是$M$，即$M{R}_0=R_{0}M=M$，即對于復(fù)合這種運算，群里存在單位元。

對任何元素$A\in D_4$，總存在$B\in D_4$，使得$AB=R_0$，可畫出Cayley表驗證，這個性質(zhì)叫做逆元存在。

注意到，讓群中所有元素，與一個固定的元素復(fù)合，結(jié)果集合也會包含所有群元素。

注意到，有些復(fù)合順序反過來也相等，而有些不相等，如$R_{90}{R}_{180}=R_{180}{R}_{90},HD=DH$

有種不顯眼的性質(zhì)，即結(jié)合律，這個怎么驗證呢？實際上將群操作看作一個函數(shù)，函數(shù)滿足結(jié)合律，那群元也滿足

二面體群

相同的分析也可以作用于正三角形，正五邊形等，我們將正多邊形的對稱群歸納為二面體群，具體的$D_n$叫做dihedral group of order $2n$，表示正$n$邊（角）形的對稱性。

群定義和性質(zhì)

二元操作

Let $G$ be a set. A binary operation on $G$ is a function that assigns each ordered pair of elements of $G$ an element of $G$.

這個定義給出了一個函數(shù)$f:G\times G\to G$，實際上是定義了一種封閉的乘法。

群定義

Let $G$ be a set together with a binary operation (multiplication) that assigns to each ordered pair $(a,b)$ of elements of $G$ an element in $G$ denoted by $ab$. We say $G$ is a group under this operation if the following three properties are satisfied.

• Associativity. 結(jié)合律
• Identity. 單元元
• Inverses. 逆元

簡而言之，群就是一個定義了封閉乘法的集合，且滿足結(jié)合律，單位元和逆元存在性。

例子

• 整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)加法群
• $\{1,?1,i,?i\}$在復(fù)數(shù)乘法下構(gòu)成群
• 正有理數(shù)乘法群
• 同階矩陣加法群
• 模$n$加法群：$Z_n=\{0,1,...,n?1\}$
• 非零實數(shù)乘法群
• 一般線性群：$GL(n,R)$，其實是實$n$階可逆矩陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群
• 互質(zhì)模$n$乘法群：$U(n)=\{i\mid i<n\wedge \gcd (i,n)=1\}$，即與$n$互質(zhì)的更小的數(shù)組成的群，在模$n$乘法下構(gòu)成群。簡單驗證一下：
  首先封閉性，根據(jù)上一節(jié)的課后19題，如果$\gcd (a,n)=\gcd (b,n)=1,?a,b\in U(n)$，那么必有$\gcd (ab,n)=1$，那么$ab\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$必然與$n$互質(zhì)，只要用上節(jié)的Theorem 0.1拆開，并用Theorem 0.2驗證即可。
  然后，單位元必然是$1$
  最后，$?a\in U(n)$，逆元存在嗎？即可否找到$a^{\prime }\in U(n),\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}a{a}^{\prime }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=1$，由于$as+nt=1$，顯然$s=0$，如果$s>0$，$s$即是$a^{\prime }$；如果$s<0$，那么$a^{\prime }=n+s$，因為$(n+s)a+n(t?a)=1$，故逆元存在
• 復(fù)數(shù)加法群，非零復(fù)數(shù)乘法群
• 單位復(fù)根在復(fù)數(shù)乘法下構(gòu)成群：$\{e^{\frac{2k\pi }{n}}|k=0,1,2,?,n?1\}$，它們是$x^n=1$的解
• 同緯向量在向量加法下構(gòu)成群
• 特殊線性群：$SL(n,R)$，是行列式為1的矩陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群

群性質(zhì)

Theorem 2.1 群單位元唯一

很明顯，假定有兩個單位元$e,e^{\prime }$，$e=e{e}^{\prime }=e^{\prime }$

Theorem 2.2 消去律

群滿足左右消去律，即$ba=ca\to b=c,ab=ac\to b=c$

用逆元左乘或右乘即可。

Theorem 2.3 群逆元唯一

假設(shè)$b，c$都是$a$的逆，那么$e=ab=ac$，根據(jù)消去律$b=c$

一些簡寫

$a^{?1}$：$a$的逆
$a^n$：$n$個$a$相乘

Theorem 2.4 Socks-Shoes property

即取乘積的逆時，元素要翻轉(zhuǎn): $(ab{)}^{?1}=b^{?1}{a}^{?1}$

有限群和子群

常用記號和定義

階

有兩種：群的階和元素的階，對于群$G$，群元素$g$來說，兩者分別記為$|G|$和$|g|$。群的階指群元素的數(shù)量；元素的階指的是滿足$g^n=e$的最小正整數(shù)$n$（如果$g$的任何次冪都不等于$e$，那么說它的階是無窮）。

子群

群$G$的子集$H$是它的子群，說的是$H$在$G$定義的二元操作下，構(gòu)成一個群。記為$H\le G$。

子群檢驗方法

群的子集，自然帶有群的一些特性，定義了二元操作，以及它們滿足結(jié)合律是肯定的，所以判斷子集是群可不必按照定義來一步步確認(rèn)，只需要說明在群的二元操作下，滿足：封閉性；逆元；單位元即可。以下有幾種典型的方法。

Theorem 3.1 One-Step Subgroup Test

$G$是一個群，$H$是$G$的一個非空子集，如果：$?a,b\in H,a{b}^{?1}\in H$，那么$H\le G$

證明：因為$H$非空，集合至少存在一個元素，那么根據(jù)$a{b}^{?1}\in H$，$e\in H$；然后只要取$a=e$就能說明逆元必然存在；最后，由于逆元存在，封閉性也可得知。

Theorem 3.2 Two-Step Subgroup Test

$G$是一個群，$H$是$G$的一個非空子集，只需要滿足封閉性，逆元存在，就可以保證$H\le G$

證明：除去已滿足的所有條件，只剩下單位元這一條需要驗證，這很容易說明，由于逆存在，$?a\in H,a^{?1}\in H$；又由于封閉性，$a{a}^{?1}=e\in H$

一個重要例子——一種子群生成方式

$G$是阿貝爾群，$H\le G,K\le G$，可得：$HK=\{hk\mid h\in H,k\in K\}$也是$G$的子群。

分析：由于阿貝爾群的可交換特性，封閉性和逆元都很容易說明。

Theorem 3.3 Finite Subgroup Test

$H$是$G$的有限子集，如果$H$封閉，那么$H\le G$。

證明：相對于Theorem 3.2 我們多了一個條件：子集有限；少了一個條件：逆元。那么根據(jù)增加的條件證明逆元存在即可。對于$a\in H$，$a=e$的逆元肯定存在，就是它自身；如果$a=e$，構(gòu)造一個序列$\{a,a^2,a^3,?,a^n\}$，由于子群的有限性，這一序列不可能無限增加下去，必然存在某個$a^n=a^k,k<n$，那么$a^{n?k}=1$，即$a^{?1}=a^{n?k?1}\in H$

這里給出一個記號：$?a?=\{a^n\mid n\in Z\}$

一些重要子群

Theorem 3.4 $?a?$是子群

根據(jù)$a{b}^{?1}\in H$（即Theorem 3.1）很容易驗證。
這個子群是很常用的，對于$a\in G$，我們稱$?a?$為：$G$由$a$生成的循環(huán)子群。如果$?a?=G$，我們稱$G$為循環(huán)子群，且$a$是$G$的一個生成元。這個子群還有個特殊性質(zhì)，可以考慮$?a?$是$G$的所有包含$a$的子群中最小的那個，因為根據(jù)封閉性，只要子群包含$a$，就必然包含$a$生成的所有元素。
這個生成的概念可以推廣，對一個子集$S$，$?S?$是包含$S$的所有子群中最小的那個，叫做$S$生成的子群。

群的中心（Center of a Group）

定義為：$Z(G)=\{a\in G\mid ax=xa?x\in G\}$，$Z(G)\le G$
這個子群的含義是，所有可與所有群元素交換的群元素的集合。

證明：首先，$Z(G)$非空，因為單位元肯定可以與所有元素交換；接下來證明封閉性：$?a,b\in Z(G)，?x\in G,ax=xa,bx=xb$，那么$abx=axb=xab$，封閉性可知；然后證明逆元存在：$?a\in Z(G)，ax=xa$，$a^{?1}ax=a^{?1}xa=x,a^{?1}x=x{a}^{?1}$，逆元可知。

群中心化子（Centralizer of $a$ in $G$）

$a$是個固定的群元素，中心化子$C(a)$是所有可與$a$交換的群元素的集合，即$C(a)=\{g\in G\mid ga=ag\}$
$?a\in G,C(a)\le G$，所有元素的中心化子都是子群

證明：首先$C(a)$非空，$a$肯定和它本身可交換；然后證明封閉性：$?b,c\in C(a)$，顯然$b,c$分別與$a$可交換，那么$bca=bac=abc$，封閉性可知；然后證明逆的存在，和群的中心一樣證明就可。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数——Part2 群：基础与子群的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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