在線題目鏈接：矩形覆蓋

文章目錄

• 1 題目描述
• 2 題目分析
• 3 代碼
• • 3.1 遞歸方法
  • • 3.11 Java代碼
    • 3.12 C++代碼
  • 3.2 動態規劃算法
  • 3.2 動態規劃
  • • 3.21 Java代碼
    • 3.22 C++代碼
  • 3.3 循環方法
  • • 3.31 Java代碼
    • 3.32 C++代碼
• 4、總結

1 題目描述

我們可以用2*1的小矩形橫著或者豎著去覆蓋更大的矩形。請問用n個2*1的小矩形無重疊地覆蓋一個2*n的大矩形，總共有多少種方法？

2 題目分析

乍一看感覺無從下手！！！其實如果我們使用歸納方法的話，總能夠總結出規律來。

假設下面是一個2*n的大矩形：

我們要使用下面這樣的2*1的小矩形來填滿上述的大矩形：

我們假設將2*n的矩形填滿需要f(n)種方法

那么填充的方法可以有下面的兩種方法：

如下圖：2*1的矩形豎著放，那么還剩下2*（n-1）大小的矩形需要填，也就是剩下的矩形還有f(n-1)的方法填滿

如下圖：2*1的矩形橫著放，那么由于它下面的也只能橫這放，所以還剩下2*(n-2)個矩形，也就是剩下的矩形需要有f(n-2)種方法填滿。

很明顯，到這里我們就可以列出一個公式：

• f(n)=f(n-1)+f(n-2)

這個公式我們太熟悉了，這就是斐波那契數列，我們看下面三篇文章的算法題都是這個公式的應用：

• 斐波那契數列
• 跳臺階
• 變態跳臺階

綜上以及題目要求，我們得出綜合公式（n=0時f(n)=0）：

由此可以寫出三種不同的代碼：遞歸，動態規劃，循環

3 代碼

3.1 遞歸方法

遞歸方法很簡單，直接利用公式即可。

3.11 Java代碼

public class Solution {public int RectCover(int target) {//遞歸if(target<3)return target;return RectCover(target-1)+RectCover(target-2);} }

3.12 C++代碼

class Solution { public:int rectCover(int number) {//遞歸if(number<3)return number;return rectCover(number-1)+rectCover(number-2);} };

我們都知道這種遞歸解法會有很多重復的計算，就像下面的，假設我們要計算f(10):

計算f(10)，要重復計算兩次f（8），三次f（7），三次f（6），這種重復計算，對于數據比價大的時候，開銷是非常大的。所以我們經常說，遞歸雖然好寫，但是不建議在實現算法的時候使用遞歸算法。

3.2 動態規劃算法

3.2 動態規劃

凡是能用遞歸寫出的代碼，一定能夠用動態規劃寫出來。

我們知道遞歸是為了求某一個值，而必須先知道另外的幾個值后才能求出來。而想要求那另外的幾個值，還需要再求另外的另外的值，就像上面的遞歸二叉樹，想要先求f（10），必須知道f（9）和發（8）。想要知道f（9）又得知道f（8）和f（7）…

上面遞歸是想要計算總體值，需要求局部的值，想要求局部的值，又要求局部的局部的值。

動態規劃不是這樣，動態規劃是先從遞歸的終止條件開始計算，也就是說，動態規劃先計算局部的值，然后根據局部的值的累積，最終得到整體要求的值。也就是與遞歸反過來了。

比如針對上面的求f（10），我們先求f（1），f（2），f（3）…最終肯定會求得f（10）。這樣我們就沒有進行重復的計算。每一項都是只計算一次。

看代碼就能明白上面說的是什么意思了。下面的ret數組，ret[i]代表斐波那契數組的第i項。我們要求得第n項，最后求到ret[n]直接返回即可。

3.21 Java代碼

public class Solution {public int RectCover(int target) {//這同樣是斐波那契數列 f(n)=f(n-1)+f(n-2)//動態規劃if(target<=2)return target;int[] ret=new int[target+1];ret[1]=1;ret[2]=2;int i;for(i=3;i<=target;i++){ret[i]=ret[i-1]+ret[i-2];}return ret[target];} }

3.22 C++代碼

class Solution { public:int rectCover(int number) {//這同樣是斐波那契數列 f(n)=f(n-1)+f(n-2)//動態規劃//if(number<=2)return number;int ret[number+1];ret[0]=0;ret[1]=1;ret[2]=2;int i;for(i=3;i<=number;i++){ret[i]=ret[i-1]+ret[i-2];}return ret[number];} };

3.3 循環方法

所有的遞歸都可以寫成動態規劃，同理所有的動態規劃，也一定能寫成循環。只不過有的動態規劃不好寫成循環而已。本題是非常好寫成循環的。

循環比動態規劃好的原因在于，循環只用幾個變量，循環使用它們得到最終結果，不保存之前的計算結果，動態規劃卻需要開辟一個數組，將所有計算過的結果保存，這很浪費空間。

3.31 Java代碼

public class Solution {public int RectCover(int target) {//循環if(target<3)return target;int r1=1,r2=2,ret=0;int i;for(i=3;i<=target;i++){ret=r1+r2;r1=r2;r2=ret;}return ret;} }

當然，上面使用三個變量，我們還可以再減少一個變量，使用兩個變量：

public class Solution {public int RectCover(int target) {//循環，更加單的寫法if(target<3)return target;int r1=1,r2=2;int i;for(i=3;i<=target;i++){r2+=r1;r1=r2-r1;}return r2;} }

3.32 C++代碼

三個變量

class Solution { public:int rectCover(int number) {//循環if(number<3)return number;int r1=1,r2=2,ret=0;int i;for(i=3;i<=number;i++){ret=r1+r2;r1=r2;r2=ret;}return ret;} };

兩個變量

class Solution { public:int rectCover(int number) {//循環，更加單的寫法if(number<3)return number;int r1=1,r2=2;int i;for(i=3;i<=number;i++){r2+=r1;r1=r2-r1;}return r2;} };

4、總結

注意學會遞歸，動態規劃，循環三者時間的關系

探討學習加：
個人qq：1126137994
個人微信：liu1126137994

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【剑指offer - C++/Java】10、矩形覆盖的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。