實驗六 拉普拉斯變換及其逆變換

一、目的

(1)掌握連續(xù)系統(tǒng)及信號拉普拉斯變換概念

(2)掌握利用MATLAB繪制系統(tǒng)零極點(diǎn)圖的方法

(3)掌握利用MATLAB求解拉普拉斯逆變換的方法

二、拉普拉斯變換曲面圖的繪制

連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換定義為:

(6-1)

其中，若以為橫坐標(biāo)(實軸)，為縱坐標(biāo)(虛軸)，復(fù)變量就構(gòu)成了一個復(fù)平面，稱為平面。

顯然，是復(fù)變量的復(fù)函數(shù)，為了便于理解和分析隨的變化規(guī)律，可以將寫成：

(6-2)

其中，稱為復(fù)信號的模，而則為的幅角。

從三維幾何空間的角度來看，和對應(yīng)著復(fù)平面上的兩個平面，如果能繪出它們的三維曲面圖，就可以直觀地分析連續(xù)信號的拉普拉斯變換隨復(fù)變量的變化規(guī)律。

上述過程可以利用MATLAB的三維繪圖功能實現(xiàn)。現(xiàn)在考慮如何利用MATLAB來繪制平面的有限區(qū)域上連續(xù)信號的拉普拉斯變換的曲面圖，現(xiàn)以簡單的階躍信號為例說明實現(xiàn)過程。

我們知道，對于階躍信號，其拉普拉斯變換為。首先，利用兩個向量來確定繪制曲面圖的平面的橫、縱坐標(biāo)的范圍。例如可定義繪制曲面圖的橫坐標(biāo)范圍向量x1和縱坐標(biāo)范圍向量y1分別為：

x1=-0.2:0.03:0.2;

y1=-0.2:0.03:0.2;

然后再調(diào)用meshgrid()函數(shù)產(chǎn)生矩陣s，并用該矩陣來表示繪制曲面圖的復(fù)平面區(qū)域，對應(yīng)的MATLAB命令如下：

[x,y]=meshgrid(x1,y1);

s=x+i*y;

上述命令產(chǎn)生的矩陣包含了復(fù)平面， 范圍內(nèi)以時間間隔0.03取樣的所有樣點(diǎn)。

最后再計算出信號拉普拉斯變換在復(fù)平面的這些樣點(diǎn)上的值，即可用函數(shù)mesh()繪出其曲面圖，對應(yīng)命令為：

fs=abs(1./s);

mesh(x,y,fs);

surf(x,y,fs);

title('單位階躍信號拉氏變換曲面圖');

colormap(hsv);

axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]);

rotate3d;

執(zhí)行上述命令后，繪制的單位階躍信號拉普拉斯變換曲面圖如圖6-1所示。

例6-1：已知連續(xù)時間信號，求出該信號的拉普拉斯變換，并利用MATLAB繪制拉普拉斯變換的曲面圖。

解：該信號的拉普拉斯變換為：

利用上面介紹的方法來繪制單邊正弦信號拉普拉斯變換的曲面圖，實現(xiàn)過程如下：

%繪制單邊正弦信號拉普拉斯變換曲面圖程序

clf;

a=-0.5:0.08:0.5;

b=-1.99:0.08:1.99;

[a,b]=meshgrid(a,b);

d=ones(size(a));

c=a+i*b;%確定繪制曲面圖的復(fù)平面區(qū)域

c=c.*c;

c=c+d;

c=1./c;

c=abs(c);%計算拉普拉斯變換的樣值

mesh(a,b,c);%繪制曲面圖

surf(a,b,c);

axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);

title('單邊正弦信號拉氏變換曲面圖');

colormap(hsv);

上述程序運(yùn)行結(jié)果如圖6-2所示。

二、由拉普拉斯曲面圖觀察頻域與復(fù)頻域的關(guān)系

如果信號的拉普拉斯變換的極點(diǎn)均位于平面左半平面，則信號的傅立葉變換與存在如下關(guān)系：

(6-3)

即在信號的拉普拉斯變換中令，就可得到信號的傅立葉變換。從三維幾何空間角度來看，信號的傅立葉變換就是其拉普拉斯變換曲面圖中虛軸所對應(yīng)的曲線。可以通過將曲面圖在虛軸上進(jìn)行剖面來直觀的觀察信號拉普拉斯變換與其傅立葉變換的對應(yīng)關(guān)系。

例6-2：試?yán)肕ATLAB繪制信號的拉普拉斯變換的曲面圖，觀察曲面圖在虛軸剖面上的曲線，并將其與信號傅立葉變換繪制的幅度頻譜相比較。

解：根據(jù)拉普拉斯變換和傅立葉變換定義和性質(zhì)，可求得該信號的拉普拉斯變換和傅立葉變換如下：

利用前面介紹的方法繪制拉普拉斯變換曲面圖。為了更好地觀察曲面圖在虛軸剖面上的曲線，定義繪制曲面圖的S平面實軸范圍從0開始，并用view函數(shù)來調(diào)整觀察視角。實現(xiàn)命令如下：

clf;

a=-0:0.1:5;

b=-20:0.1:20;

[a,b]=meshgrid(a,b);

c=a+i*b;%確定繪圖區(qū)域

c=1./((c+1).*(c+1)+1);

c=abs(c);%計算拉普拉斯變換

mesh(a,b,c);%繪制曲面圖

surf(a,b,c);

view(-60,20)%調(diào)整觀察視角

axis([-0,5,-20,20,0,0.5]);

title('拉普拉斯變換(S域像函數(shù))');

col

總結(jié)

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