matlab有限域上的運算.docx

1有限域基礎知識1.1有限域(Galois域)的構造令p為一個素數.則對任意的一個正整數n，存在一個特征為p，元素個數為pn的有限域GF(pn).注：任意一個有限域，其元素的個數一定為pn，其中p為一個素數(有限域的特征)，n為一個正整數.例1(有限域GF(p))令p為一個素數，集合GF(p)=Zp={0,1,2,…,p?1}.在GF(p)上定義加法⊕和乘法⊙分別為模p加法和模p乘法，即任意的a,b∈GF(p)，a⊕b=(a+b)modp,a⊙b=(a?b)modp則為一個有p個元素的有限域，其中零元素為0，單位元為1.令a為GF(p)中的一個非零元素.由于gcd(a,p)=1，因此，存在整數b,c，使得ab+pc=1.由此得到a的逆元為a?1=bmodp.域GF(p)稱為一個素域(primefield).例注1：給定a和p，例1中的等式ab+pc=1可以通過擴展的歐幾里得除法得到，從而求得GF(p)中任意非零元素的逆元.例2(有限域GF(pn))從GF(p)出發，對任意正整數n，n≥2，我們可以構造元素元素個數為pn的有限域GF(pn)如下：令g(x)為一個GF(p)上次數為n的不可約多項式，集合GF(pn)=GF(p)[x]/?g(x)?={a0+a1x+a2x2+?+an?1xn?1|ai∈GF(p),0≤i≤n?1}在GF(pn)上定義加法⊕和乘法⊙分別為模g(x)加法和模g(x)乘法，即任意的a(x),b(x)∈GF(pn)，a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x),a(x)⊙b(x)=(a(x)?b(x))modg(x)則為一個有pn個元素，特征為p的有限域，其中零元素為GF(p)中的0，單位元為GF(p)中的1.令a(x)為GF(pn)中的一個非零元素.由于gcd(a(x),g(x))=1，因此，存在GF(p)上的多項式b(x),c(x)，使得a(x)b(x)+g(x)c(x)=1.由此得到a(x)的逆元為a?1(x)=b(x)modg(x).域GF(pn)稱為GF(p)的(n次)擴域(extensionfield)，而GF(p)稱為GF(pn)的子域(subfield).例注2.1：給定GF(p)上的多項式a(x)和g(x)，例2中的等式a(x)b(x)+g(x)c(x)=1可以通過擴展的歐幾里得除法得到，從而求得GF(pn)中任意非零元素的逆元.例注2.2：設GF(q)是一個含有q個元素的有限域.對任意正整數n,GF(q)上的n次不可約多項式一定存在.更進一步，GF(q)上首項系數為1的n次不可約多項式的個數為Nq(n)=1n∑d|nμ(nd)qd=1n∑d|nμ(d)qn/d其中μ為Moebius函數，定義為μ(m)=???1(?1)k0如果m=1如果m=p1p2?pk,其中p1,p2,…,pk為互不相同的素數其它1.2有限域的性質令GF(q)是一個含有q個元素的有限域，F?q=GF(q)?{0}為有限域GF(q)中所有非零元素構成的集合.則在乘法之下F?q是一個有限循環群.循環群F?q的一個生成元稱為有限域GF(q)的一個本原元.若α∈GF(q)為一個本原元，則GF(q)={0,1,α,α2,…,αq?2}并且αq?1=1，即αq=α.定義：設GF(q)是一個含有q個元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一個含有p個元素的子域(p不一定為素數)，α∈GF(q).則GF(p)上以α為根，首項系數為1，并且次數最低的多項式稱為α在GF(p)上的極小多項式(minimalpolynomialofαoverGF(p)).特別地，若α∈GF(q)為GF(q)的一個本原元，則α在GF(p)上的極小多項式稱為GF(p)上的一個本原多項式(primitivepolynomialforGF(q)overGF(p)).定義注1：對任意的α∈GF(q)，α在GF(p)上的極小多項式存在并且唯一，并且α在GF(p)上的極小多項式為GF(p)上的一個不可約多項式.定義注2：設α∈GF(q)，則α和αp在GF(p)上具有相同的極小多項式.更進一步，集合B(α)={α,αp,αp2,αp3,…,αpi,…}中的元素具有相同的極小多項式.設q=pn，則αpn=α.因此，集合B(α)中互不相同的元素的個數(記為r)不超過n.可以證明，α為GF(q)的一個本原元當且僅當r=n.定理：設GF(q)是一個含有q個元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一個含有p個元素的子域.設α∈GF(q)，r為滿足αpr=α的最小正整數.則α在GF(p)上的極小多項式g(x)是一個r次不可約多項式，并且B(α)={α,αp,αp2,…,αpr?1}中的元素為g(x)在GF(q)上的所有不同的根，即g(x)=(x?α)(x?αp)(x?αp2)?(x?αpr?1).注：r的計算方法如下：設α在F?q中的階為k.集合Z?k={m|0≤m≤k?1,gcd(m,k)=1}在模k乘法運算下是一個含有φ(k)個元素的有限群(其中φ為歐拉(Euler)函數).則r等于pmodk在Z?k中的階.推論：設GF(q)是一個含有q個元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一個含有p個元素的子域.設|GF(q)|=pn，即q=pn.設α∈GF(q)為GF(q)的一個本原元，則α在GF(p)上的極小多項式g(x)的次數為n，并且g(x)=(x?α)(x?αp)(x?αp2)?(x?αpn?1).更進一步，α,αp,αp2,…,αpn?1均為GF(q)的本原元.注：設GF(p)是一個含有p個元素的有限域，n是任意一個正整數，則GF(p)上的n次本原多項式一定存在.更進一步，GF(p)上的首項系數為1的n次本原多項式的個數為φ(pn?1)n，其中φ為歐拉函數.例3考慮二元域GF(2)上的不可約多項式p(α)=α3+α+1，構造有限域GF(23)=GF(2)[α]/?p(α)?={0,1,α,α+1,α2,α2+1,α2+α,α2+α+1}.容易驗證，α,α2,α3,α4,α5,α6都是GF(23)的本原元.GF(2)上的首項系數為1的3次本原多項式有兩個，分別為(i)α,α2,α4在GF(2)上的極小多項式g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α4)=x3+x+1(ii)α3,α5,α6在GF(2)上的極小多項式g(x)=x3+x2+1有限域GF(p)上的本原多項式一定是GF(p)上的不可約多項式；但是，GF(p)上的不可約多項式不一定是GF(p)上的本原多項式.定理：設GF(q)是一個含有q個元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一個含有p個元素的子域，g(x)是GF(p)上的一個不可約多項式.則g(x)為GF(p)上的本原多項式當且僅當g(x)在GF(q)上的根都是GF(q)的本原元.下面例子說明不可約多項式不一定是本原多項式.例4考慮二元域GF(2)上的不可約多項式p(x)=x4+x3+x2+x+1，構造有限域GF(24)=GF(2)[x]/?p(x)?={a+bx+cx2+dx3|a,b,c,d∈GF(2)}.顯然，x∈GF(24).由于x5=1，即x的階為5，因此，x不是GF(24)的本原元.于

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab 有限域函数,matlab有限域上的运算.docx的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。