點(diǎn)

為什么要用R

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)作為經(jīng)濟(jì)大類(lèi)下一門(mén)非常實(shí)用的學(xué)科有很強(qiáng)的實(shí)踐意義。盡管內(nèi)容龐雜但基本的指導(dǎo)思想?yún)s很簡(jiǎn)單，因此通過(guò)一門(mén)統(tǒng)計(jì)編程語(yǔ)言學(xué)習(xí)、掌握計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)有很大的益處。

目前，市面上已經(jīng)有多款統(tǒng)計(jì)編程語(yǔ)言和統(tǒng)計(jì)軟件，實(shí)證分析領(lǐng)域中STATA始終坐穩(wěn)第一把交椅，相關(guān)的書(shū)籍與課程也汗牛充棟。(陳強(qiáng) 2015)(趙西亮 2017)但STATA畢竟是一個(gè)在學(xué)術(shù)圈范圍內(nèi)比較熱門(mén)的商業(yè)軟件，在未來(lái)可遷移至工作中的效率便不是很高，同時(shí)STATA在處理一些復(fù)雜的數(shù)據(jù)或時(shí)間序列時(shí)，軟件的限制也會(huì)導(dǎo)致工作效率的下降。而R語(yǔ)言在此類(lèi)問(wèn)題上便有較大的優(yōu)勢(shì)，在處理高頻時(shí)間序列時(shí)其效率便遠(yuǎn)高于STATA，對(duì)于大數(shù)據(jù)操作而言，也不會(huì)受到STATA不同發(fā)行版本的限制。

隨著RStudio的發(fā)布以及Rmarkdown的開(kāi)發(fā)日趨成熟，利用R進(jìn)行可復(fù)用，甚至整合數(shù)據(jù)操作與文章寫(xiě)作變成了可能，本文也是利用Rmarkdown完成的教學(xué)參考資料，其數(shù)據(jù)操作與統(tǒng)計(jì)分析皆在Rmarkdown中完成。

考慮到上述的優(yōu)點(diǎn)，筆者認(rèn)為利用R語(yǔ)言學(xué)習(xí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是一種效率高、回報(bào)高的學(xué)習(xí)過(guò)程。本文主要關(guān)注R語(yǔ)言在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，以及在數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用(如果以后想寫(xiě)的話)，因此對(duì)于R語(yǔ)言本身的特性不做系統(tǒng)性展開(kāi)，但會(huì)在需要的時(shí)候進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕忉屌c說(shuō)明。

回歸：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的靈魂

我發(fā)現(xiàn)空手道不是掌握那4000個(gè)動(dòng)作就能學(xué)好的。想要學(xué)好它，關(guān)鍵在于你能不能把那些基本動(dòng)作不斷反復(fù)地操練4000遍。

對(duì)于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)而言，這個(gè)“基本動(dòng)作”有兩種普遍的觀點(diǎn)。第一種是由(Angrist and Pischke 2014) 主推的隨機(jī)試驗(yàn)方法， 第二種則是大部分計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中采用的，將線性回歸作為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)。從實(shí)用性的角度來(lái)說(shuō)，線性回歸是非常優(yōu)秀的解釋方案，而隨機(jī)試驗(yàn)與匹配統(tǒng)計(jì)則顯得挖掘的太過(guò)深入，不適合作為本文的邏輯起點(diǎn)。

不要問(wèn)，問(wèn)就是做個(gè)回歸

為什么線性回歸那么受人喜愛(ài)，最主要的原因在于線性回歸的可解釋性是目前為止最直觀，最清晰的。另一方面，線性回歸的解決方案到目前為止也是最清晰、最簡(jiǎn)明的方案。不妨考慮勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的經(jīng)典案例，即教育水平對(duì)工資的影響(Wooldridge 2016)：

在理想狀態(tài)下(即滿足了線性回歸的假設(shè)條件后)，系數(shù)\beta_1可以解釋為每增加1年教育，工資的增量。但現(xiàn)實(shí)狀態(tài)下，工資顯然不僅僅受到教育年限的影響，這時(shí)候線性回歸的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)就顯現(xiàn)了出來(lái)，即線性回歸的系數(shù)\beta_1(在理想狀態(tài)下)代表了在控制了其他因素不變的情況下，對(duì)于工資的影響。其理論推導(dǎo)也很簡(jiǎn)單，不妨引入另一個(gè)會(huì)對(duì)工資產(chǎn)生影響的變量，工作年限workingAge，上述方程即變?yōu)?/p>

此時(shí)，系數(shù)beta1代表了教育年限的邊際影響，不受到工作年限的影響，即有：

如何估計(jì)線性回歸的系數(shù)？目前最通用、最優(yōu)的方案依然還是最小二乘法(OLS)。(陳強(qiáng) 2015)

牛刀小試，我們做個(gè)回歸

針對(duì)上述討論的內(nèi)容，通過(guò)R語(yǔ)言便可以很容易實(shí)現(xiàn)。對(duì)R語(yǔ)言而言，完成一個(gè)統(tǒng)計(jì)回歸一般分為以下3步：

導(dǎo)入數(shù)據(jù)

清洗數(shù)據(jù)

做個(gè)回歸

這個(gè)例子中并不涉及清洗數(shù)據(jù)，因此只需要導(dǎo)入數(shù)據(jù)即可。

library(haven) #read_dta使用了haven包，因此需要導(dǎo)入haven
#導(dǎo)入數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源為伍德里奇《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論-現(xiàn)代觀點(diǎn)》中的數(shù)據(jù)集
WAGE1 "WAGE1.DTA",sep = ""))

完成數(shù)據(jù)導(dǎo)入后，由于本節(jié)不涉及清洗數(shù)據(jù)，因此直接對(duì)方程進(jìn)行回歸。

wage_LM #回歸方程命令
summary(wage_LM) #回歸結(jié)果##
## Call:
## lm(formula = wage ~ educ + exper, data = WAGE1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.5532 -1.9801 -0.7071 1.2030 15.8370
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -3.39054 0.76657 -4.423 1.18e-05 ***
## educ 0.64427 0.05381 11.974 < 2e-16 ***
## exper 0.07010 0.01098 6.385 3.78e-10 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 3.257 on 523 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2252, Adjusted R-squared: 0.2222
## F-statistic: 75.99 on 2 and 523 DF, p-value: < 2.2e-16

到這一步為止，我們已經(jīng)完成了一次回歸，但有兩個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

回歸結(jié)果很難看，不直觀

上述情況下都是理想狀態(tài)，那么什么是不理想狀態(tài)？

第一個(gè)問(wèn)題很容易解決，可以通過(guò)引入其他美化輸出結(jié)果的工具解決。第二個(gè)問(wèn)題則留到下一節(jié)進(jìn)行分析。

library(stargazer) #引入stargazer包，類(lèi)似于STATA中的outreg2
stargazer(wage_LM, title = "線性回歸結(jié)果",
header = F, type = "latex")

什么是不理想狀態(tài)？

一般來(lái)說(shuō)，不理想狀態(tài)有四種狀態(tài)，其中內(nèi)生性由于可以單獨(dú)成冊(cè)、且與最小二乘法無(wú)本質(zhì)聯(lián)系故按下不表，其他三個(gè)與最小二乘法密切相關(guān)。這三個(gè)分別是：

共線性

自相關(guān)

異方差

共線性

共線性是所有不理想狀態(tài)中影響最低的一個(gè)因素，一般來(lái)說(shuō)，只要變量之間不存在完全的共線性，即對(duì)于變量x1與x2而言，只要x1=a+b x2不嚴(yán)格成立，即可以避免完全共線性的影響。

自相關(guān)

自相關(guān)往往伴隨著兩種情況出現(xiàn)。第一種情況是時(shí)間序列中的自相關(guān)，舉例來(lái)說(shuō)，今天的股票價(jià)格變動(dòng)很可能和昨天的股票價(jià)格變動(dòng)有關(guān)系。這種自相關(guān)是時(shí)間序列中要解決的一大問(wèn)題，一般通過(guò)滯后項(xiàng)解決。第二種情況是空間溢出中的自相關(guān)，舉例來(lái)說(shuō)，上海地區(qū)的房?jī)r(jià)本身就會(huì)存在相關(guān)性。這種自相關(guān)直接導(dǎo)致了空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(Spatial Econometrics)的誕生，但也可以通過(guò)其他的方式，如增加控制變量解決。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)自相關(guān)出現(xiàn)時(shí)除了上述的兩個(gè)解決方案以外，還可以通過(guò)聚類(lèi)穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤的方法解決。

異方差

異方差的分析在初級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中占據(jù)了大量篇幅，之所以如此，是因?yàn)楫惙讲畛霈F(xiàn)會(huì)導(dǎo)致對(duì)系數(shù)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量失效，即導(dǎo)致了后續(xù)置信度的變化。如果單純只是關(guān)心系數(shù)，那么異方差并不會(huì)影響結(jié)果，得出的系數(shù)依然無(wú)偏估計(jì)量。異方差直觀來(lái)說(shuō)，便是擾動(dòng)項(xiàng)方差不再是一個(gè)常數(shù)，而是依賴于i。定性來(lái)說(shuō)，同方差條件下，殘差基本是隨機(jī)的；異方差條件下，殘差則會(huì)出現(xiàn)明顯的函數(shù)特性。

對(duì)于上文回歸的結(jié)果，同樣可以通過(guò)作圖的方式定性地看其是否符合同方差假設(shè)。從圖中不難發(fā)現(xiàn)，上文回歸的結(jié)果還是存在異方差的情況。

plot(wage_LM, which = 1)

對(duì)于異方差的解決則存在多種方法。從理論的角度來(lái)看，廣義最小二乘法(GLS)才是BLUE(最優(yōu)線性無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量)。但從實(shí)操的角度來(lái)看，這個(gè)方法可能并不經(jīng)濟(jì)。之所以說(shuō)其不經(jīng)濟(jì)的原因在于通過(guò)最小二乘法獲得的結(jié)果是無(wú)偏的，只是其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量無(wú)效，因此更換統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量便可以解決該問(wèn)題。目前，做實(shí)證分析的數(shù)據(jù)往往已經(jīng)有充足的數(shù)據(jù)量，因此直接采用穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤(Eicker 1967)修正統(tǒng)計(jì)量的有效性即可。

經(jīng)典：電力部門(mén)的規(guī)模報(bào)酬

每每寫(xiě)到實(shí)證論文部分，尤其是利用最小二乘法的文章，Nerlove(1961)是一篇完全無(wú)法回避的經(jīng)典文章，這篇文章也成為了諸多計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中必定錄取的參考文獻(xiàn)。(Nerlove 1963)(Wooldridge 2016)(Hayashi 2000) 這篇文章想要度量的是美國(guó)電力供應(yīng)行業(yè)規(guī)模報(bào)酬效應(yīng)(Nerlove 1963)，對(duì)應(yīng)的產(chǎn)出范圍又是多少。由于本文十分經(jīng)典，其數(shù)據(jù)集也已經(jīng)成為了公開(kāi)數(shù)據(jù)集，可以直接在R內(nèi)引用。

psych::describe(nerlove)[,c("n","mean","sd","median","min","max")]

n

mean

sd

median

min

max

tc	145	12.9760965	19.7945767	6.7540002	0.0820000	1.394220e+02
q	145	2133.0827586	2931.9421310	1109.0000000	2.0000000	1.671900e+04
pl	145	1.9765517	0.2300404	2.0000000	1.5000000	2.300000e+00
pf	145	26.1765517	7.8760714	26.8999996	10.3000002	4.280000e+01
pk	145	174.4965517	18.2094771	170.0000000	138.0000000	2.330000e+02
lntc	145	1.7246633	1.4217234	1.9101349	-2.5010359	4.937505e+00
lnq	145	6.5566511	1.9127924	7.0112138	0.6931472	9.724301e+00
lnpf	145	3.2088584	0.3589002	3.2921262	2.3321440	3.756538e+00
lnpk	145	5.1567768	0.1003898	5.1357985	4.9272537	5.451038e+00
lnpl	145	0.6743732	0.1197522	0.6931472	0.4054651	8.329091e-01

1-10 of 10 rows

數(shù)據(jù)中，tc為總成本，q為產(chǎn)出數(shù)量，pl為勞動(dòng)價(jià)格，pf為燃油價(jià)格，pk為資本價(jià)格。在估計(jì)的過(guò)程中，Nerlove從Cobb-Douglas產(chǎn)出函數(shù)開(kāi)始設(shè)定模型。

模型中，Q代表了i公司的產(chǎn)出，L代表了i公司的勞動(dòng)投入，K代表了i公司的資本投入，F代表了i公司為了發(fā)電投入的燃油。A則代表了不同公司的不可觀察的產(chǎn)出效率。方程 衡量了規(guī)模效應(yīng)。由于電力部門(mén)的產(chǎn)出即為需求，因此電力部門(mén)的收益最大化即成本最小化，可以概述為以下的優(yōu)化條件：

于是對(duì)于公司i而言，其Cobb-Douglas成本函數(shù)便為：

minLiKiFiTCi=pilLi+pikKi+pifFis.t.AiLiα1Kiα2Fiα3=Qi" role="presentation" style=" box-sizing: border-box; line-height: normal; font-size: 14px; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; display: table-cell !important; width: 10000em !important; text-align: left; ">利用自然對(duì)數(shù)函數(shù)的特征，便可以將上述函數(shù)變?yōu)榫€性函數(shù)。

在設(shè)定了模型之后，便是對(duì)最小二乘法的適用性展開(kāi)討論。這也是本文之所以作為經(jīng)典論文最主要的原因。

線性假設(shè)：模型形式已經(jīng)可以說(shuō)明滿足線性假設(shè)

隨機(jī)抽樣：沒(méi)有理由懷疑這條不滿足

不存在完全共線性：這條也是顯然的，否則無(wú)法回歸

條件均值為0：這是本文的核心亮點(diǎn)，作者從電力行業(yè)的特征入手。一方面，對(duì)于投入而言，由于要素價(jià)格與公司效率是無(wú)關(guān)的，因此可以假定要素價(jià)格與e_i是獨(dú)立的。另一方面對(duì)于產(chǎn)出而言，電力行業(yè)的產(chǎn)出等于需求，而產(chǎn)出價(jià)格是由utility commission決定的，根據(jù)行業(yè)管制的要求來(lái)看，這也是與公司效率相獨(dú)立的。因此可以認(rèn)為滿足零條件均值假設(shè)。

同方差性：這條其實(shí)不滿足，但并不影響系數(shù)估計(jì)，可以看下文的處理。

library(zoo)
library(lmtest)
library(sandwich)
base_reg print(summary(base_reg))##
## Call:
## lm(formula = lntc ~ lnq + lnpl + lnpk + lnpf, data = nerlove)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.97203 -0.23377 -0.01091 0.16185 1.80985
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -3.56651 1.77938 -2.004 0.047 *
## lnq 0.72091 0.01743 41.352 < 2e-16 ***
## lnpl 0.45596 0.29980 1.521 0.131
## lnpk -0.21515 0.33983 -0.633 0.528
## lnpf 0.42581 0.10032 4.244 3.97e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.3923 on 140 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.926, Adjusted R-squared: 0.9239
## F-statistic: 437.9 on 4 and 140 DF, p-value: < 2.2e-16

上面是直接回歸得到的結(jié)果，為了檢驗(yàn)是否滿足同方差假設(shè)條件，不妨從圖示入手。從圖中容易發(fā)現(xiàn)，殘差項(xiàng)的確無(wú)法滿足同方差條件，而是呈現(xiàn)出了二次函數(shù)的狀態(tài)。

plot(base_reg, which = 1)

為此，進(jìn)一步考慮采用穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行處理。容易發(fā)現(xiàn)，通過(guò)穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行處理后，估計(jì)的系數(shù)的確沒(méi)有變化，而是t統(tǒng)計(jì)量產(chǎn)生了差異。

Nerlove也正是通過(guò)對(duì)最小二乘法中高斯馬爾科夫定理成立的五大條件的細(xì)致論述，將他的論文流芳百世。對(duì)于論文作者而言，Nerlove(1963)最重要的啟示是通過(guò)產(chǎn)業(yè)或研究的數(shù)據(jù)集的實(shí)際情況對(duì)計(jì)量模型適用性進(jìn)行分析，分析的過(guò)程越充分，那么結(jié)果也就越具備說(shuō)服力，也就可以發(fā)更好的期刊。同樣細(xì)致分析模型的文章還有白重恩(2012)對(duì)遺漏變量的解釋(白重恩, 李宏彬, and 吳斌珍 2012)，未來(lái)在分析面板數(shù)據(jù)模型的時(shí)候，也會(huì)講到這篇文章。

結(jié)語(yǔ)

本文回顧了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中最基礎(chǔ)的線性回歸與最小二乘法，并通過(guò)Nerlove(1963)的經(jīng)典論文大致闡述了一篇優(yōu)秀的所需要具備的基本條件。通過(guò)本文，讀者應(yīng)當(dāng)能夠利用R語(yǔ)言在借助優(yōu)質(zhì)的數(shù)據(jù)集，通過(guò)最小二乘法完成一篇相關(guān)的計(jì)量文章復(fù)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

Angrist, Joshua D., and J?rn-Steffen Pischke. 2014. Mastering’metrics: The Path from Cause to Effect. Princeton University Press.

Eicker, Friedhelm. 1967. “Limit Theorems for Regressions with Unequal and Dependent Errors.” In Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1:59–82. 1. Berkeley, CA: University of California Press.

Hayashi, Fumio. 2000. “Econometrics. 2000.” Princeton University Press. Section 1: 60–69.

Nerlove, Marc. 1963. “Returns to Scale in Electricity Supply. En ‘Measurement in Economics-Studies in Mathematical Economics and Econometrics in Memory of Yehuda Grunfeld’, Edited by Carl F. Christ.” Stanford University. Press.

Wooldridge, Jeffrey M. 2016. Introductory Econometrics: A Modern Approach. Sixth edition. Boston, MA: Cengage Learning.

白重恩, 李宏彬, and 吳斌珍. 2012. “醫(yī)療保險(xiǎn)與消費(fèi): 來(lái)自新型農(nóng)村合作醫(yī)療的證據(jù).” 經(jīng)濟(jì)研究 2: 41–53.

趙西亮. 2017. 基本有用的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué). 北京大學(xué)出版社.

陳強(qiáng). 2015. 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用. 北京: 高等教育出版社.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab 最小二乘法拟合_计量与论文串讲：最小二乘法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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