實際應用問題通過數學建模所歸納而得到的方程，絕大多數都是微分方程，真正能得到代數方程的機會很少．另一方面，能夠求解的微分方程也是十分有限的，特別是高階方程和偏微分方程(組)．這就要求我們必須研究微分方程(組)的解法，既要研究微分方程(組)的解析解法(精確解)，更要研究微分方程(組)的數值解法(近似解)．

對微分方程(組)的解析解法(精確解)，Matlab有專門的函數可以用，本實驗將作一定的介紹．

本實驗將主要研究微分方程(組)的數值解法(近似解)，重點介紹Euler折線法．

1．dsolve('equ1','equ2',…)：Matlab求微分方程的解析解．equ1、equ2、…為方程(或條件)．寫方程(或條件)時用Dy表示y關于自變量的一階導數，用用D2y表示y關于自變量的二階導數，依此類推．

2．simplify(s)：對表達式s使用maple的化簡規則進行化簡．

例如：

syms x

simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2)

ans=1

3．[r,how]=simple(s)：由于Matlab提供了多種化簡規則，simple命令就是對表達式s用各種規則進行化簡，然后用r返回最簡形式，how返回形成這種形式所用的規則．

例如：

syms x

[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2)

r = cos(2*x)

how = combine

4．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)求微分方程的數值解．

說明：

(1)其中的solver為命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb之一．

(2) odefun是顯式常微分方程：

(3)在積分區間tspan=

上，從到，用初始條件求解．

(4)要獲得問題在其他指定時間點上的解，則令tspan=

(要求是單調的)．

(5)因為沒有一種算法可以有效地解決所有的ODE問題，為此，Matlab提供了多種求解器Solver，對于不同的ODE問題，采用不同的Solver．

求解器

Solver

ODE類型

特點

說明

ode45

非剛性

單步算法；4、5階Runge-Kutta方程；累計截斷誤差達

大部分場合的首選算法

ode23

非剛性

單步算法；2、3階Runge-Kutta方程；累計截斷誤差達

使用于精度較低的情形

ode113

非剛性

多步法；Adams算法；高低精度均可到

計算時間比ode45短

ode23t

適度剛性

采用梯形算法

適度剛性情形

ode15s

剛性

多步法；Gear's反向數值微分；精度中等

若ode45失效時，可嘗試使用

ode23s

剛性

單步法；2階Rosebrock算法；低精度

當精度較低時，計算時間比ode15s短

ode23tb

剛性

梯形算法；低精度

當精度較低時，計算時間比ode15s短

(6)要特別的是：ode23、ode45是極其常用的用來求解非剛性的標準形式的一階常微分方程(組)的初值問題的解的Matlab的常用程序，其中：

ode23采用龍格-庫塔2階算法，用3階公式作誤差估計來調節步長，具有低等的精度．

ode45則采用龍格-庫塔4階算法，用5階公式作誤差估計來調節步長，具有中等的精度．

5．ezplot(x,y,[tmin,tmax])：符號函數的作圖命令．x,y為關于參數t的符號函數，[tmin,tmax]為t的取值范圍．

6．inline()：建立一個內聯函數．格式：inline('expr', 'var1', 'var2',…)，注意括號里的表達式要加引號．

例：Q = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi).

1.幾個可以直接用Matlab求微分方程精確解的例子：

例1：求解微分方程，并加以驗證．

求解本問題的Matlab程序為：

syms x y ?????????????????????????????????%line1

y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')???????? ?%line2

diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)???????????????? ?%line3

simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2))???????? ?%line4

說明：

(1)行line1是用命令定義x,y為符號變量．這里可以不寫，但為確保正確性，建議寫上；

(2)行line2是用命令求出的微分方程的解：

1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1

(3)行line3使用所求得的解．這里是將解代入原微分方程，結果應該為0，但這里給出：

-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)

(4)行line4用simplify()函數對上式進行化簡，結果為0，表明的確是微分方程的解．

例2：求微分方程在初始條件下的特解，并畫出解函數的圖形．

求解本問題的Matlab程序為：

syms x y

y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')

ezplot(y)

微分方程的特解為：y=1/x*exp(x)+1/x* exp (1)(Matlab格式)，即，解函數的圖形如圖1：

圖1

例3：求微分方程組在初始條件下的特解，并畫出解函數的圖形．

求解本問題的Matlab程序為：

syms x y t

[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')

simple(x);

simple(y);

ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto

微分方程的特解(式子特別長)以及解函數的圖形均略．

2.用ode23、ode45等求解非剛性的標準形式的一階常微分方程(組)的初值問題的數值解(近似解)．

例4：求解微分方程初值問題的數值解，求解范圍為區間[0, 0.5]．

fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');

[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);

x';

y';

plot(x,y,'o-')

>> x'

ans =

0.0000 ??0.0400 ??0.0900? ?0.1400? ?0.1900 ??0.2400

0.2900 ??0.3400 ??0.3900 ??0.4400 ??0.4900? ?0.5000

>> y'

ans =

1.0000 ??0.9247 ??0.8434 ??0.7754 ??0.7199 ??0.6764

0.6440? ?0.6222 ??0.6105 ??0.6084? ?0.6154 ??0.6179

圖形結果為圖2．

圖2

例5：求解描述振蕩器的經典的Ver der Pol微分方程

分析：令則

先編寫函數文件verderpol.m：

function xprime = verderpol(t,x)

global mu;

xprime = [x(2);mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];

再編寫命令文件vdp1.m：

global mu;

mu = 7;

y0=[1;0]

[t,x] = ode45('verderpol',[0,40],y0);

x1=x(:,1);x2=x(:,2);

plot(t,x1)

圖形結果為圖3．

圖3

3.用Euler折線法求解

前面講到過，能夠求解的微分方程也是十分有限的．下面介紹用Euler折線法求微分方程的數值解(近似解)的方法．

Euler折線法求解的基本思想是將微分方程初值問題

化成一個代數方程，即差分方程，主要步驟是用差商替代微商,于是：

記，從而，則有

例6：用Euler折線法求解微分方程初值問題

的數值解(步長h取0.4)，求解范圍為區間[0,2]．

解：本問題的差分方程為

相應的Matlab程序見附錄1．

數據結果為：

0 ????????1.0000

0.4000??? 1.4000

0.8000??? 2.1233

1.2000??? 3.1145

1.6000??? 4.4593

2.0000??? 6.3074

圖形結果見圖4：

圖4

特別說明：本問題可進一步利用四階Runge-Kutta法求解，讀者可將兩個結果在一個圖中顯示，并和精確值比較，看看哪個更“精確”？(相應的Matlab程序參見附錄2)．

1.求微分方程的通解．

2.求微分方程的通解．

3.求微分方程組

在初始條件下的特解，并畫出解函數的圖形．

4.分別用ode23、ode45求上述第3題中的微分方程初值問題的數值解(近似解)，求解區間為．利用畫圖來比較兩種求解器之間的差異．

5.用Euler折線法求解微分方程初值問題

的數值解(步長h取0.1)，求解范圍為區間[0,2]．

6.用四階Runge-Kutta法求解微分方程初值問題

的數值解(步長h取0.1)，求解范圍為區間[0,3]．

四階Runge-Kutta法的迭代公式為(Euler折線法實為一階Runge-Kutta法)：

相應的Matlab程序參見附錄2．試用該方法求解第5題中的初值問題．

7.用ode45方法求上述第6題的常微分方程初值問題的數值解(近似解)，從而利用畫圖來比較兩者間的差異．

總結

以上是生活随笔為你收集整理的方程求解的实验 matlab,matlab 实验四　求微分方程的解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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