2.5 拉氏變換與反變換

機電控制工程所涉及的數學問題較多，經常要解算一些線性微分方程。按照一般方法解算比較麻煩，如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經典數學中的微積分運算轉化為代數運算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數學方法。

2.5.1 拉普拉斯變換的定義

如果有一個以時間為自變量的實變函數，它的定義域是，那么的拉普拉斯變

換定義為

(2.10)

式中，是復變數，(σ、ω均為實數)，稱為拉普拉斯積分；是函數

的拉普拉斯變換，它是一個復變函數，通常也稱為的象函數，而稱

為的原函數；L 是表示進行拉普拉斯變換的符號。

式(2.10)表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件下，它能把一實數域中的實變函數變換為一個在復數域內與之等價的復變函數

。

2.5.2 幾種典型函數的拉氏變換

1.單位階躍函數

的拉氏變換

單位階躍函數是機電控制中最常用的典型輸入信號之一，常以它作為評價系統性能的標準輸入，這一函數定義為

單位階躍函數如圖2.7所示，它表示在 時刻突然作用于系統一個幅值為1的不變量。

單位階躍函數的拉氏變換式為

當，則。

所以

t ()t f 0≥t ()t f ()()()0

e d st

F s L f t f t t ∞

-=??????s ωσj +=s ?∞

-0

e st )(s F )(t

f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ??

?≥)0(1

)0(0)(1t t t 0=t 0e 1

d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-?st

st s

t t t L s F 0)Re(>s 0

e lim →-∞

→st t

總結

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