誤差修正模型(Error Correction Model)

誤差修正模型的產生原因

對于非穩定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩定序列，然后才可建立經典的回歸分析模型。

如：建立人均消費水平(Y)與人均可支配收入(X)之間的回歸模型：

Yt = α0 + α1Xt + μt

如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢,進行差分，X,Y成為平穩序列，建立差分回歸模型得：

ΔYt = α1ΔXt + vt 式中，vt = μt ? μt ? 1

然而，這種做法會引起兩個問題： (1)如果X與Y間存在著長期穩定的均衡關系 Yt = α0 + α1Xt + μt 且誤差項μt不存在序列相關，則差分式 ΔYt = α1ΔXt + vt 中的vt是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關的；(2)如果采用差分形式進行估計，則關于變量水平值的重要信息將被忽略，這時模型只表達了X與Y間的短期關系，而沒有揭示它們間的長期關系。

因為，從長期均衡的觀點看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。 另外，使用差分變量也往往會得出不能令人滿意回歸方程。

例如，使用ΔY1 = ΔXt + vt 回歸時，很少出現截距項顯著為零的情況，即我們常常會得到如下形式的方程：

式中，

(*)

在X保持不變時，如果模型存在靜態均衡(static equilibrium)，Y也會保持它的長期均衡值不變。

但如果使用(*)式，即使X保持不變，Y也會處于長期上升或下降的過程中，這意味著X與Y間不存在靜態均衡。這與大多數具有靜態均衡的經濟理論假說不相符。可見，簡單差分不一定能解決非平穩時間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應運而生。

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誤差修正模型的概述

誤差修正模型(Error Correction Model，簡記為ECM)是一種具有特定形式的計量經濟學模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。

為了便于理解，我們通過一個具體的模型來介紹它的結構。

假設兩變量X與Y的長期均衡關系為:

Yt = α0 + α1Xt + μt

由于現實經濟中X與Y很少處在均衡點上，因此實際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關系，假設具有如下(1,1)階分布滯后形式

該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關，而且與t-1期X與Y的狀態值有關。

由于變量可能是非平穩的，因此不能直接運用OLS法。對上述分布滯后模型適當變形得：

(**) , 式中，λ = 1 ? μ，

，

如果將(**)中的參數，與Yt = α0 + α1Xt + μt中的相應參數視為相等，則(**)式中括號內的項就是t-1期的非均衡誤差項。

(**)式表明：Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度。同時，(**)式也彌補了簡單差分模型ΔY1 = ΔXt + vt的不足，因為該式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對前期的非均衡程度作出了修正。

(**)

稱為一階誤差修正模型(first-order error correction model)。

(**)式可以寫成：

其中:ecm表示誤差修正項。由分布滯后模型

知：一般情況下|μ|<1 ，由關系式μ得0

(1)若(t-1)時刻Y大于其長期均衡解α0 + α1X，ecm為正，則(-λecm)為負，使得ΔYt減少；

(2)若(t-1)時刻Y小于其長期均衡解α0 + α1X，ecm為負，則(-λecm)為正，使得ΔYt增大。

(***)體現了長期非均衡誤差對的控制。

需要注意的是：在實際分析中，變量常以對數的形式出現。

其主要原因在于變量對數的差分近似地等于該變量的變化率，而經濟變量的變化率常常是穩定序列，因此適合于包含在經典回歸方程中。

于是:

(1)長期均衡模型

Yt = α0 + α1Xt + μt

中的α1可視為Y關于X的長期彈性(long-run elasticity)

(2)短期非均衡模型

中的β1可視為Y關于X的短期彈性(short-run elasticity)。

更復雜的誤差修正模型可依照一階誤差修正模型類似地建立。

誤差修正模型的建立

(1)Granger 表述定理

誤差修正模型有許多明顯的優點：如 a)一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而避免了虛假回歸問題； b)一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題； c)誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視； d)由于誤差修正項本身的平穩性，使得該模型可以用經典的回歸方法進行估計，尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進行選取。

因此，一個重要的問題就是：是否變量間的關系都可以通過誤差修正模型來表述？

就此問題，Engle 與 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理(Granger representaion theorem)：

如果變量X與Y是協整的，則它們間的短期非均衡關系總能由一個誤差修正模型表述：

ΔYt = lagged(ΔY,ΔX) ? λμt ? 1 + εt

式中，μt ? 1是非均衡誤差項或者說成是長期均衡偏差項， λ是短期調整參數。

對于(1,1)階自回歸分布滯后模型

如果 Yt~I(1), Xt~I(1) ?; 那么

的左邊ΔYt~I(0) ，右邊的ΔXt ~I(0) ，因此，只有Y與X協整，才能保證右邊也是I(0)。

因此，建立誤差修正模型，需要

首先對變量進行協整分析，以發現變量之間的協整關系，即長期均衡關系，并以這種關系構成誤差修正項。然后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。

(2)Engle-Granger兩步法

由協整與誤差修正模型的的關系，可以得到誤差修正模型建立的E-G兩步法： 第一步，進行協整回歸(OLS法)，檢驗變量間的協整關系，估計協整向量(長期均衡關系參數)； 第二步，若協整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應參數。 需要注意的是：在進行變量間的協整檢驗時，如有必要可在協整回歸式中加入趨勢項，這時，對殘差項的穩定性檢驗就無須再設趨勢項。 另外，第二步中變量差分滯后項的多少，可以殘差項序列是否存在自相關性來判斷，如果存在自相關，則應加入變量差分的滯后項。

(3)直接估計法

也可以采用打開誤差修整模型中非均衡誤差項括號的方法直接用OLS法估計模型。 但仍需事先對變量間的協整關系進行檢驗。

如對雙變量誤差修正模型

可打開非均衡誤差項的括號直接估計下式：

這時短期彈性與長期彈性可一并獲得。 需注意的是，用不同方法建立的誤差修正模型結果也往往不一樣。

總結

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