誤差修正模型(Error Correction Model)

誤差修正模型的產(chǎn)生原因

對(duì)于非穩(wěn)定時(shí)間序列，可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型。

如：建立人均消費(fèi)水平(Y)與人均可支配收入(X)之間的回歸模型：

Yt = α0 + α1Xt + μt

如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢(shì),進(jìn)行差分，X,Y成為平穩(wěn)序列，建立差分回歸模型得：

ΔYt = α1ΔXt + vt 式中，vt = μt ? μt ? 1

然而，這種做法會(huì)引起兩個(gè)問題： (1)如果X與Y間存在著長(zhǎng)期穩(wěn)定的均衡關(guān)系 Yt = α0 + α1Xt + μt 且誤差項(xiàng)μt不存在序列相關(guān)，則差分式 ΔYt = α1ΔXt + vt 中的vt是一個(gè)一階移動(dòng)平均時(shí)間序列，因而是序列相關(guān)的；(2)如果采用差分形式進(jìn)行估計(jì)，則關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略，這時(shí)模型只表達(dá)了X與Y間的短期關(guān)系，而沒有揭示它們間的長(zhǎng)期關(guān)系。

因?yàn)?#xff0c;從長(zhǎng)期均衡的觀點(diǎn)看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態(tài)，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。 另外，使用差分變量也往往會(huì)得出不能令人滿意回歸方程。

例如，使用ΔY1 = ΔXt + vt 回歸時(shí)，很少出現(xiàn)截距項(xiàng)顯著為零的情況，即我們常常會(huì)得到如下形式的方程：

式中，

(*)

在X保持不變時(shí)，如果模型存在靜態(tài)均衡(static equilibrium)，Y也會(huì)保持它的長(zhǎng)期均衡值不變。

但如果使用(*)式，即使X保持不變，Y也會(huì)處于長(zhǎng)期上升或下降的過程中，這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡。這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經(jīng)濟(jì)理論假說(shuō)不相符。可見，簡(jiǎn)單差分不一定能解決非平穩(wěn)時(shí)間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應(yīng)運(yùn)而生。

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誤差修正模型的概述

誤差修正模型(Error Correction Model，簡(jiǎn)記為ECM)是一種具有特定形式的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。

為了便于理解，我們通過一個(gè)具體的模型來(lái)介紹它的結(jié)構(gòu)。

假設(shè)兩變量X與Y的長(zhǎng)期均衡關(guān)系為:

Yt = α0 + α1Xt + μt

由于現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中X與Y很少處在均衡點(diǎn)上，因此實(shí)際觀測(cè)到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關(guān)系，假設(shè)具有如下(1,1)階分布滯后形式

該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關(guān)，而且與t-1期X與Y的狀態(tài)值有關(guān)。

由于變量可能是非平穩(wěn)的，因此不能直接運(yùn)用OLS法。對(duì)上述分布滯后模型適當(dāng)變形得：

(**) , 式中，λ = 1 ? μ，

，

如果將(**)中的參數(shù)，與Yt = α0 + α1Xt + μt中的相應(yīng)參數(shù)視為相等，則(**)式中括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)就是t-1期的非均衡誤差項(xiàng)。

(**)式表明：Y的變化決定于X的變化以及前一時(shí)期的非均衡程度。同時(shí)，(**)式也彌補(bǔ)了簡(jiǎn)單差分模型ΔY1 = ΔXt + vt的不足，因?yàn)樵撌胶杏肵、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對(duì)前期的非均衡程度作出了修正。

(**)

稱為一階誤差修正模型(first-order error correction model)。

(**)式可以寫成：

其中:ecm表示誤差修正項(xiàng)。由分布滯后模型

知：一般情況下|μ|<1 ，由關(guān)系式μ得0

(1)若(t-1)時(shí)刻Y大于其長(zhǎng)期均衡解α0 + α1X，ecm為正，則(-λecm)為負(fù)，使得ΔYt減少；

(2)若(t-1)時(shí)刻Y小于其長(zhǎng)期均衡解α0 + α1X，ecm為負(fù)，則(-λecm)為正，使得ΔYt增大。

(***)體現(xiàn)了長(zhǎng)期非均衡誤差對(duì)的控制。

需要注意的是：在實(shí)際分析中，變量常以對(duì)數(shù)的形式出現(xiàn)。

其主要原因在于變量對(duì)數(shù)的差分近似地等于該變量的變化率，而經(jīng)濟(jì)變量的變化率常常是穩(wěn)定序列，因此適合于包含在經(jīng)典回歸方程中。

于是:

(1)長(zhǎng)期均衡模型

Yt = α0 + α1Xt + μt

中的α1可視為Y關(guān)于X的長(zhǎng)期彈性(long-run elasticity)

(2)短期非均衡模型

中的β1可視為Y關(guān)于X的短期彈性(short-run elasticity)。

更復(fù)雜的誤差修正模型可依照一階誤差修正模型類似地建立。

誤差修正模型的建立

(1)Granger 表述定理

誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點(diǎn)：如 a)一階差分項(xiàng)的使用消除了變量可能存在的趨勢(shì)因素，從而避免了虛假回歸問題； b)一階差分項(xiàng)的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題； c)誤差修正項(xiàng)的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視； d)由于誤差修正項(xiàng)本身的平穩(wěn)性，使得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進(jìn)行估計(jì)，尤其是模型中差分項(xiàng)可以使用通常的t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行選取。

因此，一個(gè)重要的問題就是：是否變量間的關(guān)系都可以通過誤差修正模型來(lái)表述？

就此問題，Engle 與 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理(Granger representaion theorem)：

如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個(gè)誤差修正模型表述：

ΔYt = lagged(ΔY,ΔX) ? λμt ? 1 + εt

式中，μt ? 1是非均衡誤差項(xiàng)或者說(shuō)成是長(zhǎng)期均衡偏差項(xiàng)， λ是短期調(diào)整參數(shù)。

對(duì)于(1,1)階自回歸分布滯后模型

如果 Yt~I(1), Xt~I(1) ?; 那么

的左邊ΔYt~I(0) ，右邊的ΔXt ~I(0) ，因此，只有Y與X協(xié)整，才能保證右邊也是I(0)。

因此，建立誤差修正模型，需要

首先對(duì)變量進(jìn)行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，即長(zhǎng)期均衡關(guān)系，并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項(xiàng)。然后建立短期模型，將誤差修正項(xiàng)看作一個(gè)解釋變量，連同其它反映短期波動(dòng)的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。

(2)Engle-Granger兩步法

由協(xié)整與誤差修正模型的的關(guān)系，可以得到誤差修正模型建立的E-G兩步法： 第一步，進(jìn)行協(xié)整回歸(OLS法)，檢驗(yàn)變量間的協(xié)整關(guān)系，估計(jì)協(xié)整向量(長(zhǎng)期均衡關(guān)系參數(shù))； 第二步，若協(xié)整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項(xiàng)加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計(jì)相應(yīng)參數(shù)。 需要注意的是：在進(jìn)行變量間的協(xié)整檢驗(yàn)時(shí)，如有必要可在協(xié)整回歸式中加入趨勢(shì)項(xiàng)，這時(shí)，對(duì)殘差項(xiàng)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)就無(wú)須再設(shè)趨勢(shì)項(xiàng)。 另外，第二步中變量差分滯后項(xiàng)的多少，可以殘差項(xiàng)序列是否存在自相關(guān)性來(lái)判斷，如果存在自相關(guān)，則應(yīng)加入變量差分的滯后項(xiàng)。

(3)直接估計(jì)法

也可以采用打開誤差修整模型中非均衡誤差項(xiàng)括號(hào)的方法直接用OLS法估計(jì)模型。 但仍需事先對(duì)變量間的協(xié)整關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)。

如對(duì)雙變量誤差修正模型

可打開非均衡誤差項(xiàng)的括號(hào)直接估計(jì)下式：

這時(shí)短期彈性與長(zhǎng)期彈性可一并獲得。 需注意的是，用不同方法建立的誤差修正模型結(jié)果也往往不一樣。

總結(jié)

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