引言

重新復習了一下機器人學DH參數，并且利用matlab符號運算進行了推導，驗證了公式。

• 引言
• • 1.DH參數原理
  • 2.Matlab符號運算驗證

1.DH參數原理

圖中的坐標系定義：

• 坐標系$i$的$z$軸$z_i$和關節軸線$i$共線，指向任意規定。
• 坐標系$i$的$x$軸$x_i$和$a_i$重合，由關節$i$指向關節$i+1$，當$a_i=0$，取$x_i=\pm z_{i+1}\times z_i$。
• 坐標系$i$的$y$軸$y_i$按右手法則規定。
• 坐標系$i$的原點$o_i$取在$x_i$和$z_i$的交點上；當$z_i$和$z_{i+}$相交時，原點取再兩軸交點上，當$z_i$和$z_{i+}$平行時，原點取在使$d_{i+1}=0$的地方。

利用連桿坐標系定義相應的連桿參數：

• $a_i$=從$z_i$到$z_{i+1}$沿$x_i$測量的距離（公垂線長度）
• ${\alpha }_i$=從$z_i$到$z_{i+1}$沿$x_i$旋轉的角度
• $d_i$=從$x_{i?1}$到$x_i$沿$z_i$測量的距離
• ${\theta }_i$=從$x_{i?1}$到$x_i$沿$z_i$旋轉的角度

坐標系$\{i\}$相對坐標系$\{i?1\}$的變換矩陣${}^{i?1}{T}_i$可以看作四個子變換矩陣的乘積：

繞$x_{i?1}$軸轉${\alpha }_{i?1}$角
$$Ro{t}_x\left({\alpha }_{i?1}\right)=?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos{\alpha }_{i?1}& ?sin{\alpha }_{i?1}& 0\\ 0& sin{\alpha }_{i?1}& cos{\alpha }_{i?1}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}?$$

沿$x_{i?1}$軸移動$a_{i?1}$
$$Tran{s}_x\left(a_{i?1}\right)=?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& a_{i?1}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}?$$

沿$z_i$軸移動${\theta }_i$
$$Ro{t}_z\left({\theta }_i\right)=?\begin{array}{cccc}cos{\theta }_i& ?sin{\theta }_i& 0& 0\\ sin{\theta }_i& cos{\theta }_i& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}?$$

沿$z_i$軸移動$d_i$
$$Tran{s}_z\left(d_i\right)=?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& d_i\\ 0& 0& 0& 1\end{array}?$$

這些變換都是相對運動坐標系描述的，滿足從左到右的原則，可以得到最終變換公式如下：

$${}_i^{i?1}T=Ro{t}_x\left({\alpha }_i\right)Tran{s}_x\left(a_i\right)Ro{t}_z\left({\theta }_i\right)Tran{s}_z\left(d_i\right)$$
通常規定$a_i\ge 0$，因為它代表連桿長度，而${\alpha }_i,d_i,{\theta }_i$可正可負。

$${}_i^{i?1}T=?\begin{array}{cccc}cos{\theta }_i& ?sin{\theta }_i& 0& a_{i?1}\\ sin{\theta }_{i}cos{\alpha }_{i?1}& cos{\theta }_{i}cos{\alpha }_{i?1}& ?sin{\alpha }_{i?1}& ?d_{i}sin{\alpha }_{i?1}\\ sin{\theta }_{i}sin{\alpha }_{i?1}& cos{\theta }_{i}sin{\alpha }_{i?1}& cos{\alpha }_{i?1}& d_{i}cos{\alpha }_{i?1}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}?$$

2.Matlab符號運算驗證

利用Matlab的符號運算進行公式推導進行一下公式的驗證

syms theta d alpha a M=DH_Trans(theta,d,alpha,a) function M=DH_Trans(theta,d,alpha,a)R_z_theta=[cos(theta),-sin(theta),0,0;...sin(theta),cos(theta),0,0;...0,0,1,0;...0,0,0,1];T_z_d=[1,0,0,0;...0,1,0,0;...0,0,1,d;...0,0,0,1];R_x_alpha=[1,0,0,0;...0,cos(alpha),-sin(alpha),0;...0,sin(alpha),cos(alpha),0;...0,0,0,1];T_x_a=[1,0,0,a;...0,1,0,0;...0,0,1,0;...0,0,0,1];M=R_x_alpha*T_x_a*R_z_theta*T_z_d; end

結果是一致的

總結

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