目錄

• • 1. LQR控制算法介紹
  • • 1.1 全狀態反饋控制
    • 1.2 LQR控制推導
  • 2. 倒立擺模型仿真
  • • 2.1 倒立擺狀態空間方程推導
    • 2.2 開環仿真
    • 2.3 閉環LQR仿真
    • 2.4 LQR對比仿真

1. LQR控制算法介紹

1.1 全狀態反饋控制

??首先回顧一下全狀態反饋控制器的模型：

??假設一個線性系統的狀態空間方程表示為：

??在此，我們需要設計一個狀態反饋控制器：

??使得該線性系統達到期望的穩定性能。將 u=-kx 帶入到狀態空間方程可得：

??由上式可知，引入狀態反饋后，線性系統的傳遞函數的極點為行列式 A-Bk 的特征值。通過配置反饋矩陣 k ，可以使得系統達到所期望的狀態。
??那么如何選取傳遞函數的極點使系統的性能最好以及矩陣 k 如何計算？這就需要引入LQR控制了。

1.2 LQR控制推導

??LQR的目標就是找到一組控制量，使得同時滿足狀態量足夠小(系統達到穩定狀態)，控制量足夠小(控制量盡量小)。
??引入代價函數：

??其中，Q和R是需要設計的半正定矩陣和正定矩陣。
??代價函數 J 需要達到最小值，那么在 t 趨近于無窮時，狀態向量 x(t) 肯定趨近于0，即是達到了系統穩態；同理，t 趨近于無窮時，控制向量 u(t) 也會趨近于0，意味著，隨著時間的推移，需要對系統施加的控制量會越來越小，意味著使用最小的控制量使得系統達到了最終控制目標。
??那么Q和R矩陣的取值如何確定呢？
??一般來說，為了方便觀察各個系統狀態量，Q和R選取對角陣。Q矩陣的某一個元素值增大，意味著這個元素值作用的系統狀態量將以更快的速度衰減到0，比如，Q₁₁ 選取較大的值，那么 x₁₁ 將會很快衰減到0；另外一方面，R矩陣的某一個元素值增大，意味著這個元素值作用的控制量減小，控制器執行更少的動作，系統的狀態衰減將變慢。所以，Q和R矩陣的選取要根據實際應用場景。
??推導過程：


??LQR控制結構圖為：

2. 倒立擺模型仿真

??本文以下仿真內容是對up主DR_CAN講解內容的復現。
??視頻鏈接：https://www.bilibili.com/video/BV1RW411q7FDshare_source=copy_web
??建議先觀看視頻學習。

2.1 倒立擺狀態空間方程推導

2.2 開環仿真

??圖中x1積分模塊初始值設置為5，表示初始角度為5°；仿真時間1s。

??圖中三條曲線分別代表x1,x2,u即角度，角速度，輸入。倒立擺模型建立在小角度近似的基礎上，故當角度增大到一定程度時，模型失效，對應波形圖中x1和x2一直保持發散的趨勢。

2.3 閉環LQR仿真

??根據模型的A和B矩陣及自行設置的Q和R矩陣，在matlab命令行窗口利用lqr函數計算K矩陣。

??根據K矩陣元素值構建閉環simulink模型。

??引入狀態反饋后，x1和x2最終保持收斂，達到穩定狀態。

2.4 LQR對比仿真

??更改Q和R矩陣，重新計算K矩陣。

??將兩個閉環模型分別封裝成三輸出的Subsysytem，進行對比仿真。

??仿真時間3s。

??黃色曲線代表Q=[100 0;0 1],R=0.01的仿真結果，藍色曲線代表Q=[1 0;0 1],R=100的仿真結果。黃色曲線的x1和x2收斂速度更快，說明黃色曲線更關注收斂速度；藍色曲線的u值更小且變化比較平滑，說明藍色曲線更關注能耗問題。兩條曲線最終都實現了狀態的收斂即角度和角速度為零。
??如果本文對您有所幫助，麻煩一鍵三連，謝謝！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的LQR控制算法及matlab/simulink仿真的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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