遼寧工程技術(shù)大學(xué)

數(shù) 學(xué) 建 模 課 程 成 績(jī) 評(píng) 定 表

趙常新 魏文楷 潘洋 一階常微分方程模型—人口模型與預(yù)測(cè)

數(shù)學(xué)建模

一階常微分方程模型—人口模型與預(yù)測(cè)

一．摘要：

二．模型的背景問(wèn)題描述

三．模型假設(shè)

四.分析與建立模型

下表列出了中國(guó)1982-1998年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，取1982年為起始年(t?0)，

N0?101654萬(wàn)人，Nm?200000萬(wàn)人。

要求：(1)建立中國(guó)人口的指數(shù)增長(zhǎng)模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

(2)建立中國(guó)人口的Logistic模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

(3)利用MATLAB圖形，標(biāo)出中國(guó)人口的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預(yù)測(cè)曲線。

趙常新 魏文楷 潘洋 一階常微分方程模型—人口模型與預(yù)測(cè)

(4)利用MATLAB圖形，畫出兩種預(yù)測(cè)模型的誤差比較圖，并分別標(biāo)出其誤差。

模型一：指數(shù)增長(zhǎng)模型(馬爾薩斯(Malthus)模型)

假設(shè)：人口凈增長(zhǎng)率r是一常數(shù)

符號(hào)：x(t)??t時(shí)刻時(shí)的人口，可微函數(shù)x0??t?0時(shí)的人口 則r?

x(t??t)?x(t)

x(t)?t

?dx

于是x(t)滿足如下微分方程：??dt?rx

??x(0)?x0解為：x(t)?x0ert 模型二：Logistic模型

人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(x)

?dx

從而有：??dt?r(x)x

??

x(0)?x0對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)(競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng))，令 r(x)=r-ax 此時(shí)得到微分方程：

dxdt?(r?ax)x或dxdt?r(1?x

x)x m

可改寫成：

dxdt?rx(xm?x)x m

分離變量：??1?1?

x?dx?rdt

?xm?x?兩邊積分并整理得： x?

xm

1?Ce

?rt

令x(0)=xxm?x00，求得： C?

x?xm

x?1 00

滿足初始條件x(0)=xxm

0的解為： x(t)?

1?(x

m?1)e?rt

x0

數(shù)學(xué)建模

易見(jiàn)： limx(t)?xm

t???

五．模型的求解

1、運(yùn)行結(jié)果

p = 0.0131 11.5342

y?0.0131t?11.5342

?lnx0?11.5342?x0?102150.2451 ?x(t)?102150.24514e0.0131t

預(yù)測(cè)公式預(yù)測(cè)1991--1998年的人口數(shù)量可得，1998年的由指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)出的人口數(shù)于實(shí)際人口數(shù)相差最小，而其他年份的真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間有差別：

由1991年開(kāi)始，指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果很好的反映了實(shí)際情況。按此模型預(yù)測(cè)現(xiàn)在中國(guó)人口已超過(guò)13億，到2016年中國(guó)人口將超過(guò)15億。我們看到，盡管中國(guó)出臺(tái)了計(jì)劃生育的措施，但中國(guó)近幾年仍處于高生育期，按指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果均比實(shí)際人口要多一些。同時(shí)由于中國(guó)人口調(diào)控政策比較得力，中國(guó)人口的自然增長(zhǎng)率在逐年下降，雖仍有一定誤差，但仍基本顯示了1991--1998年的人口增長(zhǎng)的趨勢(shì)。

2、運(yùn)行結(jié)果

趙常新 魏文楷 潘洋 一階常微分方程模型—人口模型與預(yù)測(cè)

如圖所示：

圈： 人口的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

紅線：人口的指數(shù)增長(zhǎng)曲線

x(t)=x0ert(x0=101654(1982人口)，r=0.01116)

藍(lán)綠線：人口的Logistic增長(zhǎng)曲線 N(t)=Nm/(1+(Nm/N0-1)e-r*(t-t0))

(Nm=200000(萬(wàn)),N0==101654(萬(wàn))(1982人口))

由預(yù)測(cè)公式預(yù)測(cè)1991--1998年的人口數(shù)量可得，1998年的由Logistic模型預(yù)測(cè)出的人口數(shù)于實(shí)際人口數(shù)相差最小，而其他年份的真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間有差別：

數(shù)學(xué)建模

當(dāng)人口數(shù)的初始值N0>Nm時(shí)，人口曲線(虛線)單調(diào)遞減，而當(dāng)人口數(shù)的初始值N0∞，它們皆趨于極限值Nm。

六. 模型的檢驗(yàn)

1、matlab源程序

%以1982-1998年共計(jì)17個(gè)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合： t=0:16; %輸入數(shù)據(jù)

s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]; y=log(s); p=polyfit(t,y,1)

2、matlab源程序 t=0:16;

s=101654*(1+0.0131).^t; plot(t,s,'r') hold on t=0:16;

趙常新 魏文楷 潘洋 一階常微分方程模型—人口模型與預(yù)測(cè)

s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]; plot(t,s,'o') hold on t=0:16;

s=200000./(1+(200000/101654-1)*exp(-0.029*t)); plot(t,s,'c')

七．模型的應(yīng)用與推廣

用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。

Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問(wèn)題，只要這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。

參考文獻(xiàn)

[1 ] 張亮忠. 數(shù)字測(cè)圖技術(shù) [M]. 南京:建筑出版社, 1991.

附錄

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的宋健人口模型 matlab,一阶常微分方程模型-人口模型与预测的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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