在傅里葉級(jí)數(shù)中我們需要將定義在一個(gè)區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f(x)進(jìn)行周期延拓。

如何寫出這個(gè)延拓的函數(shù)F(x)的表達(dá)式？

答：這個(gè)延拓后的函數(shù)的表達(dá)式是：

F(x)=f(x-(b-a)*floor((x-a)/(b-a))???? ? (公式1)

其中floor(u)就是我們所熟悉的取整函數(shù)[u]。

如果f(x)定義在區(qū)間[-a, a]上，則周期延拓后的函數(shù)為

F(x)=f(x-2*a*floor((x+a)/(2*a))?????? (公式2)

如果f(x)定義在區(qū)間[-Pi, Pi]上，則周期延拓后的函數(shù)為

F(x)=f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi))??? (公式3)

例1? 將函數(shù)f(x)=abs(x) (-Pi<=x<=Pi) 延拓為周期為2*Pi的函數(shù)F(x)。(同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》下冊(cè)，311頁(yè)，例5)

解 根據(jù)公式3，周期延拓后的函數(shù)為

F(x)=abs(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi))

f(x)的圖形

周期延拓后的函數(shù)F(x)的圖形

作圖的Mathematica程序：f[x_] := Piecewise[{{-x, -Pi <= x < 0}, {x, 0 <= x <= Pi}}]

L := Pi

F[x_] := f[x - 2*L*Floor[(x + L)/(2*L)]]

A = Plot[f[x], {x, -Pi, Pi}, PlotStyle -> {Red, AbsoluteThickness[3]},AspectRatio -> Automatic,?Ticks -> {Range[-2*L, 2*L, Pi/2], Range[-3, 3, 1]}]

B = Plot[F[x], {x, -5*L, 5*L}, AspectRatio -> Automatic];

Show[A, B, PlotRange -> {{-5*L, 5*L}, {-1, 4}}, Ticks -> {Range[-5*L, 5*L, Pi], Range[-3, 3, 1]}]

例2? 將函數(shù)f(x)=-1 (-Pi<=x<0)，f(x)=1(0<=x

解 根據(jù)公式3，周期延拓后的函數(shù)為

F(x)=f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi))

f(x)的圖形

周期延拓后的函數(shù)F(x)的圖形

作圖的Mathematica程序：f[x_] := Piecewise[{{-1, -Pi <= x < 0}, {1, 0 <= x <= Pi}}]

L := Pi

F[x_] := f[x - 2*L*Floor[(x + L)/(2*L)]]

A = Plot[f[x], {x, -Pi, Pi}, PlotStyle -> {Red, AbsoluteThickness[3]},AspectRatio -> 1/2,?Ticks -> {Range[-2*L, 2*L, Pi/2], Range[-1/2, 3/2, 1/2]}]

B = Plot[F[x], {x, -4*L, 4*L}, AspectRatio -> 1/2,?PlotStyle -> {Blue, AbsoluteThickness[2]}];

Show[B, A, PlotRange -> {{-4*L, 4*L}, {-2, 2}}, Ticks -> {Range[-5*L, 5*L, Pi], Range[-2, 2, 0.5]}]

例3? 將函數(shù)f(x)=x^2-3*x (2<=x<=5)??延拓為周期為3 的函數(shù)F(x)

解 根據(jù)公式1，周期延拓后的函數(shù)為

F(x)=f(x-3*floor((x-2)/3)

f(x)的圖形

周期延拓后的函數(shù)F(x)的圖形

\

作圖的Mathematica程序：f[x_] := Piecewise[{{x*Sin[x/2], 2 <= x < 5}}]

F[x_] := f[x - 3*Floor[(x - 2)/3]]

A = Plot[f[x], {x, -4, 11}, PlotStyle -> {Red, AbsoluteThickness[3]},?Ticks -> {Range[-4, 12, 1], Range[-1, 5, 1]}]

B = Plot[F[x], {x, -4, 11}, PlotStyle -> {Blue, AbsoluteThickness[2]}];

Show[B, A, Ticks -> {Range[-4, 12, 1], Range[-1, 10, 1]}]

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab中周期延拓,如何周期延拓函数？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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