動態規劃入門

• 五、動態規劃入門
• • 1、動態介紹
  • • 1.1動態規劃基本思路
    • 1.2 動態規劃基本概念
    • • 1.2.1 階段
      • 1.2.2 狀態
      • 1.2.3 決策
      • 1.2.4 狀態轉移方程
      • 1.2.5 策略
    • 1.3 動態規劃的優化原理與無后效性
    • • 1.3.1 最優化原理
      • 1.3.2 無后效性
  • 2、動態規劃問題
  • • 2.1 可樂機回家問題
    • • 2.1.1 問題描述
      • 2.1.2 解題思路
      • 2.1.3 代碼實現
    • 2.2 蒜頭君下山問題
    • • 2.2.1 問題描述
      • 2.2.2 解題思路
      • 2.2.3 代碼實現
    • 2.3 三維的蒜頭君回家問題
    • • 2.3.1 問題描述
      • 2.3.2 解題思路
      • 2.3.3 代碼實現

五、動態規劃入門

1、動態介紹

1.1動態規劃基本思路

動態規劃是編程解題的一種重要手段，1951年美國數學家Ｒ.Bellman等人，根據一類多階段問題的特點，把多階段決策問題變成一系列相互聯系的單階段問題，然后逐個解決。與此同時，他提出這類問題的最優化原理，從而創建了解決最優化問題的一種新方法：動態規劃。
動態規劃算法通常用于求解某種最優性質的問題。
我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以后是否被用到，只要被計算過，就講其結果填入表中。這就是動態規劃法的基本思路。

1.2 動態規劃基本概念

1.2.1 階段

把所給問題的求解過程恰當地分成若干個相互聯系的階段，以便于求解。過程不同，階段數就可能不同。描述階段的變量稱為階段變量，常用 表示。階段的劃分，一般是根據時間和空間的自然特征來劃分，但要便于把問題的過程轉化為多階段決策的過程。

1.2.2 狀態

狀態表示每個階段開始面臨的自然狀況或客觀條件，它不以人們的主觀意志為轉移，也稱為不可控因素。通常一個階段有若干個狀態，狀態通可以用一個或一組數來描述，稱為狀態變量。

1.2.3 決策

表示當過程處于某一階段的某個狀態時，可以做出不同的決定，從而確定下一階段的狀態，這種決定稱為決策。不同的決策對應著不同的數值，描述決策的變量稱決策變量。

1.2.4 狀態轉移方程

動態規劃中本階段的狀態往往是上一階段的狀態和上一階段的決策的結果，由第 i段的狀態dp[i],和決策 u[i]來確定第 i+1段的狀態。狀態轉移表示為F(i + 1) = T(f(i), u(i)) ，稱為狀態轉移方程。

1.2.5 策略

各個階段決策確定后，整個問題的決策序列就構成了一個策略，對每個實際問題，可供選擇的策略有一定范圍，稱為允許策略集合。允許策略集合中達到最優效果的策略稱為最優策略

1.3 動態規劃的優化原理與無后效性

1.3.1 最優化原理

一個過程的最優決策具有這樣的性質：即無論其初始狀態和初始決策如何，其今后諸策略對以第一個決策所形成的狀態作為初始狀態的過程而言，必須構成最優策略”。也就是說一個最優策略的子策略，也是最優的。

1.3.2 無后效性

如果某階段狀態給定后，則在這個階段以后過程的發展不受這個階段以前各個狀態的影響。

2、動態規劃問題

2.1 可樂機回家問題

2.1.1 問題描述

可憐的可樂機要回家，已知小可樂機在 左下角 (1,1) 位置，家在 右上角 (n,n) 坐標處。小可樂機走上一個格子 (i,j) 會花費一定的體力 a[i][j]，而且小可樂機只會往家的方向走，也就是只能往上，或者往右走。小可樂機想知道他回到家需要花費的最少體力是多少, 求你幫幫小可樂機吧qwq

例如下圖所示，格子中的數字代表走上該格子花費的體力：

2.1.2 解題思路

對于該圖來說，最優策略已在圖上標出，最少花費體力為：3 + 2 + 4 + 3 = 123 + 2 + 4 + 3 = 12。

我們把走到一個點看做一個狀態，對小可樂機來說，走到一個點只有兩種方式，一個是從下面走到該點，一種是從左邊走到該點。那么點 (i,j) 要么是從 (i-1,j) 走到 (i,j)，要么是從點 (i,j-1) 走到 (i,j)。

所以從哪個點走到 (i,j) 就是一個 決策。接下來，我們用 dp(i,j) 來代表走到點 (i,j) 一共花費的最少體力。
我們需要花費最少力氣走到家，所以可以得到狀態轉移方程：dp(i,j) = min(dp(i-1,j), dp(i,j-1)) + a[i][j] 。根據轉移方程，我們可以推出走到每個點花費的最少體力。

對于圖中的邊界點，要在轉移前加上判斷是否為邊界，如：點 (1,3) 只能從點 (1,2) 走過來，點 (3,1) 只能從點 (2,1) 走過來等等。

動態規劃的題目的核心是寫出狀態轉移方程，對于一個動態規劃的題目，如果我們能寫出轉移方程那么代碼實現就變得簡單多了。大部分的動態規劃題目，在計算出轉移方程后，可以用類似于遞推的循環結構，來寫出代碼。

2.1.3 代碼實現

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int a[100][100]; // a數組代表在點(i,j)花費的體力 int dp[100][100]; // dp數組代表走到點(i,j)一共花費的最少體力 int main(){int n;cin>>n;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++){cin>>a[i][j];}}dp[1][1] = 0;//先把初始邊界賦值好，再利用遞推進行求解for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++){if (i == 1 && j == 1){continue;} else if (i == 1){ //邊界點 dp[i][j] = dp[i][j-1] + a[i][j];} else if (j == 1){ //邊界點dp[i][j] = dp[i-1][j] + a[i][j];} else {dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + a[i][j]; //轉移方程}}}cout<<dp[n][n]<<endl;return 0;

2.2 蒜頭君下山問題

2.2.1 問題描述

蒜頭在玩一款游戲，他在一個山頂，現在他要下山，山上有許多水果，蒜頭每下一個高度就可以撿起一個水果，并且獲得水果的能量。山的形狀如圖所示：
3
1 2
6 2 3
3 5 4 1
這是一個高度為4的山，數字代表水果的能量。每次下一個高度，蒜頭需要選擇是往左下走，還是往右下走。例如：對于上圖的情況，蒜頭能獲得的最大能量為，3+1+6+5=15。現在，蒜頭希望你能幫他計算出下山能獲得的最大能量。

2.2.2 解題思路

狀態轉移方程：f[i][j]=f[i][j]+max(f[i-1][j],f[i-1][j])

2.2.3 代碼實現

#include<iostream> using namespace std; const int N=1e3+9; const int int=1000000000; int f[N][N]; int main(){int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;++n){for(int j=1;j<=i;==j){cin>>f[i][j];}}int ma=-inf;//定義ma表示最后的答案，并初始化為負無窮for(int i=1;i<=n;==i){//遞推式for(int j=1;j<=i;==j){f[i][j]+=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]);if(i==n){//在最后一行找最大值ma=max(f[i][j],ma)}}}if(ma==-inf){ma=0;}cout<<ma<<endl;retrun 0; }

2.3 三維的蒜頭君回家問題

2.3.1 問題描述

蒜頭君要回家（0,0,0），且值蒜頭君當前位置（x,y,z）希望能盡快回到家中，請你幫他計算出回家所需要的最短路程。蒜頭君生活的城市可以看做是一個 xyz三維的網格，其中有道路有障礙，鑰匙和家所在的地方可以看做是道路，可以通過。蒜頭君可以在城市中沿著上下左右前后6個方向移動，移動一個格子算做走一步。

2.3.2 解題思路

在做多維動態規劃時，第一步是描述事物，在描述的時候先不必管我們使用空間的大小。當我們可以準確描述清楚一個物體的各個狀態的時候，在考慮優化，看看有沒有哪個描述是沒有必要的，哪個描述是可以通過另外一個值表示。
當多維空間的時候，不能像二維空間那樣找規律，這時候需要自己的推理，寫出遞推方程式。

遞推式：f[i][j][k]=min(f[i-1][j][k],f[i][j-1][k],f[i][j][k-1])+f[i][j][k])+f[i][j][k]

2.3.3 代碼實現

#include<iostream> using namespace std; const int N=1e2+9; const int inf = 1000000000;int f[N][N][N]; int main(){int x,y,z;cin>>x>>y>>z;for(int i=0;i<=x;++i){//接收數據for(int j=0;j<=y;++j){for(int k=0;k<=z;++k){cin>>f[i][j][k];}}}for(int i=0;i<=x;++i){for(int j=0;j<=y;++j){for(int k=0;k<=z;++k){int mi=inf;//定義一個變量初始值為正無窮大，保存轉移過來的三個狀態的最小值if(i!=0){mi=min(mi,f[i-1][j][k])//找f[i-1][j][k]是否最小}if(j!=0){mi=min(mi,f[i][j-1][k])//找f[i][j-1][k]是否最小}if(k!=0){mi=min(mi,f[i][j][k-1])//找f[i][j][k-1]是否最小}if(mi!=inf){//通過嗎mi是否變化判斷f[i][j][k]仍為本身f[i][j][k]+=mi}}}}cout<<f[x][y][z]<<endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的LQ训练营(C++)学习笔记_动态规划入门的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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