Date: 2_21
Name: Guo Yehao
Theme: Sensitivity Analysis and Shadow Price in Optimality with multiple variables
Reference: 數(shù)學(xué)建模方法與分析(華章)

? 承接之前的多變量最優(yōu)化問題中，用拉格朗日乘子的方法討論有約束條件的最優(yōu)化問題，我們討論這種范式下的靈敏性分析，分為彈性價(jià)格系數(shù)和約束條件的分析。

首先是分析彈性價(jià)格系數(shù)，和無(wú)約束條件下的最優(yōu)化問題相比，仍然是分析三個(gè)量：兩個(gè)決策變量和目標(biāo)值。我們有兩條線索去討論：

• 第一種顯得機(jī)械和普遍。考察約束條件在這種情況下的所起的作用，雖然它增加了我們之前的討論的難度，但是不要被迷惑，它所起的真正作用就是帶來(lái)求解過(guò)程和解的形式的改變。將價(jià)格彈性系數(shù)用參數(shù)的形式代替，依然用常規(guī)的拉格朗日乘子方法求解即可，我們可以表示出兩個(gè)決策變量，接著賦值表示出目標(biāo)值，用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)做形式計(jì)算，表示出靈敏度系數(shù)，在給定點(diǎn)(我們?cè)谥黧w部分求解出的點(diǎn))求出靈敏性系數(shù)的數(shù)值，對(duì)靈敏性系數(shù)的實(shí)際意義稍加解釋。

  再在一個(gè)較大范圍分析價(jià)格彈性系數(shù)的影響，繪制兩個(gè)決策變量和目標(biāo)值關(guān)于價(jià)格彈性系數(shù)的曲線圖。這可能與某些人對(duì)于靈敏性分析的"微小改變"認(rèn)識(shí)不同，如果要強(qiáng)扣“帽子”，也許可以叫做穩(wěn)健性分析吧。如果不談什么形式上的“帽子”，從實(shí)際的角度去思考，對(duì)這個(gè)大范圍問題的討論有實(shí)際價(jià)值，它能夠給出當(dāng)價(jià)格彈性系數(shù)改變時(shí)，各個(gè)量的全局性改變。

• 第二種方法考慮到了梯度的幾何意義，能夠提供給我們?cè)跀?shù)學(xué)本質(zhì)上的further insight。區(qū)別發(fā)生在目標(biāo)值的討論，我們此處不是通過(guò)全部賦值成關(guān)于價(jià)格彈性系數(shù)的一元函數(shù)，而是利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，寫出鏈?zhǔn)角髮?dǎo)的符號(hào)表達(dá)式之后，利用數(shù)學(xué)上的原理簡(jiǎn)化求解。在無(wú)約束條件下，由于駐點(diǎn)的特殊性，很容易說(shuō)明求導(dǎo)的前兩項(xiàng)為零；在約束條件下，前兩項(xiàng)可以表示成約束曲線(面)的切線和目標(biāo)函數(shù)梯度的點(diǎn)積，由拉格朗日乘子方法，構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)在駐點(diǎn)處有目標(biāo)函數(shù)的梯度向量與約束曲線(面)的梯度向量共線，而約束曲線(面)的梯度和切線是垂直的，因此目標(biāo)函數(shù)的的梯度和約束曲線(面)的切線垂直，我們有前兩項(xiàng)整體為零，于是乎目標(biāo)值對(duì)價(jià)格彈性系數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是復(fù)合函數(shù)表示下目標(biāo)值對(duì)價(jià)格彈性系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，我們由此跳過(guò)了冗長(zhǎng)的代值求導(dǎo)過(guò)程。

我們對(duì)約束條件進(jìn)行靈敏性分析，引出一個(gè)新穎的概念——影子價(jià)格。對(duì)它討論過(guò)程中計(jì)算簡(jiǎn)單得多，不僅是思想簡(jiǎn)單，計(jì)算過(guò)程也十分簡(jiǎn)單，然而它對(duì)于生產(chǎn)的指導(dǎo)意義卻是of significance的。將約束條件用參數(shù)形式代替，按照標(biāo)準(zhǔn)的拉格朗日乘子方法求解決策變量和目標(biāo)值，接著求解對(duì)參數(shù)的靈敏度系數(shù)。討論目標(biāo)值對(duì)于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的意義：

• 從數(shù)學(xué)理論上講，參數(shù)改變意味著約束曲線的平移，由于拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)處有目標(biāo)函數(shù)梯度和約束曲線梯度的線性關(guān)系，我們可以說(shuō)約束曲線在參數(shù)改變的方向移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)移動(dòng)的速度是約束曲線的λ(拉格朗日乘子)倍；

• 從實(shí)際意義的角度講，約束條件的參數(shù)值代表著生產(chǎn)能力，目標(biāo)值代表利潤(rùn)，因此這個(gè)導(dǎo)數(shù)意味著每增加一個(gè)單位的生產(chǎn)能力，會(huì)帶來(lái)的利潤(rùn)額外利潤(rùn)增加值，稱此為影子價(jià)格。然而僅通過(guò)影子價(jià)格的正負(fù)不能做出是否增加生產(chǎn)的決策，事實(shí)上，在問題之外還要考慮增加單位生產(chǎn)能力的成本，當(dāng)影子價(jià)格大于此成本時(shí)，可以做出增加生產(chǎn)的決策。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数模笔记_多变量最优化的拉格朗日乘子方法中的灵敏性分析和影子价格的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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