数模笔记_多变量最优化的拉格朗日乘子方法中的灵敏性分析和影子价格
Date: 2_21
Name: Guo Yehao
Theme: Sensitivity Analysis and Shadow Price in Optimality with multiple variables
Reference: 數(shù)學(xué)建模方法與分析(華章)
? 承接之前的多變量最優(yōu)化問題中，用拉格朗日乘子的方法討論有約束條件的最優(yōu)化問題，我們討論這種范式下的靈敏性分析，分為彈性價格系數(shù)和約束條件的分析。
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第一種顯得機械和普遍。考察約束條件在這種情況下的所起的作用，雖然它增加了我們之前的討論的難度，但是不要被迷惑，它所起的真正作用就是帶來求解過程和解的形式的改變。將價格彈性系數(shù)用參數(shù)的形式代替，依然用常規(guī)的拉格朗日乘子方法求解即可，我們可以表示出兩個決策變量，接著賦值表示出目標(biāo)值，用計算機代數(shù)系統(tǒng)做形式計算，表示出靈敏度系數(shù)，在給定點(我們在主體部分求解出的點)求出靈敏性系數(shù)的數(shù)值，對靈敏性系數(shù)的實際意義稍加解釋。
再在一個較大范圍分析價格彈性系數(shù)的影響，繪制兩個決策變量和目標(biāo)值關(guān)于價格彈性系數(shù)的曲線圖。這可能與某些人對于靈敏性分析的"微小改變"認(rèn)識不同，如果要強扣“帽子”，也許可以叫做穩(wěn)健性分析吧。如果不談什么形式上的“帽子”，從實際的角度去思考，對這個大范圍問題的討論有實際價值，它能夠給出當(dāng)價格彈性系數(shù)改變時，各個量的全局性改變。
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第二種方法考慮到了梯度的幾何意義，能夠提供給我們在數(shù)學(xué)本質(zhì)上的further insight。區(qū)別發(fā)生在目標(biāo)值的討論，我們此處不是通過全部賦值成關(guān)于價格彈性系數(shù)的一元函數(shù)，而是利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，寫出鏈?zhǔn)角髮?dǎo)的符號表達(dá)式之后，利用數(shù)學(xué)上的原理簡化求解。在無約束條件下，由于駐點的特殊性，很容易說明求導(dǎo)的前兩項為零；在約束條件下，前兩項可以表示成約束曲線(面)的切線和目標(biāo)函數(shù)梯度的點積，由拉格朗日乘子方法，構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)在駐點處有目標(biāo)函數(shù)的梯度向量與約束曲線(面)的梯度向量共線，而約束曲線(面)的梯度和切線是垂直的，因此目標(biāo)函數(shù)的的梯度和約束曲線(面)的切線垂直，我們有前兩項整體為零，于是乎目標(biāo)值對價格彈性系數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是復(fù)合函數(shù)表示下目標(biāo)值對價格彈性系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，我們由此跳過了冗長的代值求導(dǎo)過程。
我們對約束條件進(jìn)行靈敏性分析，引出一個新穎的概念——影子價格。對它討論過程中計算簡單得多，不僅是思想簡單，計算過程也十分簡單，然而它對于生產(chǎn)的指導(dǎo)意義卻是of significance的。將約束條件用參數(shù)形式代替，按照標(biāo)準(zhǔn)的拉格朗日乘子方法求解決策變量和目標(biāo)值，接著求解對參數(shù)的靈敏度系數(shù)。討論目標(biāo)值對于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的意義：
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從數(shù)學(xué)理論上講，參數(shù)改變意味著約束曲線的平移，由于拉格朗日函數(shù)的駐點處有目標(biāo)函數(shù)梯度和約束曲線梯度的線性關(guān)系，我們可以說約束曲線在參數(shù)改變的方向移動時，目標(biāo)函數(shù)移動的速度是約束曲線的λ(拉格朗日乘子)倍；
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從實際意義的角度講，約束條件的參數(shù)值代表著生產(chǎn)能力，目標(biāo)值代表利潤，因此這個導(dǎo)數(shù)意味著每增加一個單位的生產(chǎn)能力，會帶來的利潤額外利潤增加值，稱此為影子價格。然而僅通過影子價格的正負(fù)不能做出是否增加生產(chǎn)的決策，事實上，在問題之外還要考慮增加單位生產(chǎn)能力的成本，當(dāng)影子價格大于此成本時，可以做出增加生產(chǎn)的決策。
總結(jié)
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