Date: 2_22
Name: Guo Yehao
Theme: Calculation in Optimality with multiple variables
Reference: 數學建模方法與分析(華章)

寫在前面：看完本節講到的隨機搜索算法不禁讓我類比一個有趣的事實：我寫的博客只是讀書筆記，記錄了我在讀書時的一些思考，而沒有轉述或者以更詳細的方式介紹書中的理論和方法，所以瀏覽者不能指望通過瀏覽我的博客就學會什么具體的方法。但是如果讀者親自看書，那么我的博客會提供一些對應章節內容的有益見解。所以對于那些很著急的同學(急著速成或者直接套用)來說，他們想做的是在尋找他們的最優解，在輸入關鍵詞搜索CSDN上眾多博客時，一篇篇地點開查看就像一個隨機搜索過程，我的博客并不是他們想要的最優解，于是其瀏覽量的增加就源于隨機搜索過程中有幸被抽到、但也被舍棄的事實了。

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正文
? 列出最優化問題的范式只是模型建立的環節，建模最終是要解決實際問題的，所以模型的求解必不可少，而這一步通常是手算無法解決的。本節主要介紹了最優化計算(多變量)的兩種可操作的方法：隨機搜索算法和梯度算法。在討論的過程中，順便提到了圖像法和格點搜索法。本次筆記的highlight除了介紹最優化計算方法外，還有有關的建模思路可供參考。

書中提供的討論載體是一道很有實際意義的問題，我們初中就學過了將軍飲馬和造橋選址的最短路徑問題，當時的幾何做法只是簡單情況下的一種恰好可用的巧妙方法。我們現在討論的問題更加一般，當然也因此而更具實際意義，就連把實際問題抽象成這個范式的過程也是值得學習的建模思路。所以在開始隨機搜索算法之前，先討論一下作者對這個消防站選址問題的預處理。

• 實際問題可以這樣描述：澳大利亞去年的火災成了澳大利亞人的痛苦經歷(今年MCM_B題的背景，我們隊伍選的此題)，為了增加控制火災的把握，澳大利亞政府決定增加一些地區的消防站的密度。現在，一片給定大小的區域(對這個區域怎么來的，比如如何分割如何選取，也可以做一個討論和假設)內要設立一個消防站，問消防站應該選在什么地方？

  • 首先我們考慮確定消防站位置的關鍵因素，我們認為是消防隊員從消防站到達失火地點的時間，我們稱之為響應時間，而時間是和距離有關系的，第八章的習題討論了如何確定這個關系，是一種基于回歸的方法。假設我們已經得到了，就是書上直接給出的那個響應時間表達式。

  • 接著，處理這片區域有關火災的情況：我們采用在今年寒假集訓期間眾多隊伍采用的地圖分割，將這片區域分成m·m的矩形網格，統計每個網格內的火災報警呼叫頻數，如果檢索不到現成的數據(這個問題大概率是檢索不到的)，我們可以模擬一組數據，例如隨機生成的方法，(當然，如果考慮到地形或者其他環境的因素，可以對隨機模擬的過程進行調整，例如在隨機生成時增加或者減少某些網格投點的幾率，這可以作為模型的改進，甚至后續問題會直接這樣提問)，由此我們得到了每個網格中的呼叫頻數，正如書上所展示的那張網格上的形式。

  • 消防站位置的衡量指標，或者最優化問題中的專有名詞——目標函數，用消防站對每次呼叫的平均響應時間確定，容易理解：某處的呼叫頻數越高，那個地方在取平均時的權重越高。表達式正如書上的那個表達式。由此我們就走到要使用隨機搜索算法的大門前了。

• 隨機搜索算法：我們要求解一個復雜表達式的最優值問題，當表達式的維數n<=2時，可以采用圖像法這種全局方法，除了直接觀察三維(或更低維)圖形，采用等值線在二維平面上進一步分析。這種方法的缺點在于精度不高(雖然隨機搜索也不是什么高精度的算法，但是相比圖像法還是可以“五十步笑百步”的)，處理問題的緯度有限，不能處理三個以上決策變量的問題。于是書中進一步提出了隨機搜索算法：它的基本思想是在可行域內投N個點，每個點的坐標分量隨機生成，計算每個點的目標函數值，選出這些值中的最小值，并且記錄對應的坐標分量。算法的偽代碼如下：

  %% 算法：隨機搜索算法%% 變量：a=x的下限b=x的上限c=x的下限d=x的上限N=迭代次數xmin=最小點x坐標的近似解ymin=最小點y坐標的近似解zmin=最小點目標值F(x,y)的近似解%% 輸入：a, b, c, d, N %% 過程：begin:xmin<=random [a, b];ymin<=random [c, d];zmin<=F(xmin, ymin);loop n=1 to Nbegin:x<=random [a, b];y<=random [c, d];z<=F(x, y);if z<zmin begin:xmin<=x;ymin<=y;zmin<=z;endendend %% 輸出：xmin, ymin, zmin

• 對算法精度的討論和靈敏度分析：隨機搜索算法的精度與N個點在n·n網格上的均勻分布大致相當，此處n=sqrt(N)，相當于n·n網格中每個網格中分配一個點，這樣在每個方向上的精確度為：m/n，其中m為對區域劃分成m·m網格中的m。由于在最優值處有目標函數的梯度為零，所以變化較緩慢，所以目標值的精確度更高。對于隨機搜索算法而言，不適合繼續提高精確度，因為精確度(m/n)每多一位小數，意味著n要擴大10倍，也就是N擴大100倍，這將會造成更長的計算時間。事實上，對區域m·m網格劃分時就有一個單位的誤差，我們只需要精確度到達這個單位之后的一位小數就可以了，這也為我們確定迭代次數提供了依據。通過圖像法將區域繼續局限在一個包含最優值的小區域內用隨機搜索提高精度沒有太大的意義，因為區域網格的m·m劃分就有很大的誤差了，但是我們可以將其用作隨機搜索算法的靈敏度分析，在包含最優值的局部區域做隨機搜索可以得到一個新的最優值，一般會與我們最開始得到的最優值差很小的數值，比如在消防問題中差了0.03min，這幾乎可以忽略不計的，因此我們可以說明第一次得到結果的穩定性。

  總結一下精確度和靈敏性分析的討論，一方面是通過精確度確定迭代次數，判斷提高精確度是否有意義；另一方面小范圍的隨機搜索得到與最初結果差值較小說明穩定性。

梯度算法：由于寒假期間上午用來學習數學建模，下午和晚上做科研訓練的文獻任務，隨機搜索算法寫得太多，寫到這里已經即將中午12點了，所以梯度算法留到明天再寫。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数模笔记_多变量最优化计算之随机搜索算法及建模案例的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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