Date: 2_22
Name: Guo Yehao
Theme: Calculation in Optimality with multiple variables
Reference: 數(shù)學建模方法與分析(華章)

在上一節(jié)中，我們討論多變量最優(yōu)化計算中的隨機搜索算法，它的精度并不是眾多算法中最高的。在精度問題上，有的時候問題本身就帶有明顯的誤差性，以至于我們不能將其忽略，比如上一節(jié)消防站部署的問題，我們在區(qū)域劃分時就有了誤差，因此我們并不需要對結果要求很高的精確度，所以用一些比較粗略的算法就可以滿足要求，比如隨機搜索算法；然而有的時候，問題本身不帶有離散的特征，比如連續(xù)型的題目，或者誤差不明顯表現(xiàn)出來，以致于我們可以當作數(shù)據(jù)沒有可疑數(shù)字(或者大物實驗中稱為可靠位數(shù)無窮多位)，這個時候我們就不能僅僅用粗略一點的算法了，我們需要一種更加精確的算法。

在本節(jié)中討論了多變量函數(shù)的牛頓法，它是基于梯度的快速收斂算法的一種，數(shù)學思想是微分的線性近似，幾何上講是用超平面(低維情況下就是切線和切平面)近似原始曲面，用這種線性近似不斷迭代，迭代次數(shù)決定結果的精度。和我們在單變量最優(yōu)化問題中討論的一樣，用牛頓法快速收斂之前需要一個零點方程的近似解，這個近似解通過某些全局方法產(chǎn)生。低維的情況可以通過圖像法直接觀察得出，高維的情況就需要用到隨機搜索算法了。

問題的背景來源于生產(chǎn)收益問題，價格和數(shù)量之間有著較復雜的函數(shù)關系，最終我們得到收益的復雜函數(shù)表達式，如書中所示。通過圖像法，我們得到目標函數(shù)由唯一取到極大值的內(nèi)點。我們現(xiàn)在的目的是求解函數(shù)的駐點，復雜的表達式使得我們不能通過人工的方法求出解析解。駐點處有梯度向量為零的特征，之后我們會通過梯度向量討論，可以得到一些“整體”的表示方法，所謂“整體”就是通過矩陣整體運算。

• 對于多元向量值函數(shù)，每個分量的泰勒級數(shù)展開只保留到一階項，這樣多元向量值函數(shù)就可以近似地表示為一個基準點處的函數(shù)值和一個偏導數(shù)矩陣(Jocabi矩陣)和自變量列向量的乘積。
• 令這個近似表達式為零，求解自變量的列向量，作為向量值函數(shù)為零的近似解，求解的問題就是我們在線性代數(shù)里面接觸的那些解方程的問題，唯一復雜的地方在于Jocabi矩陣求逆，低維的情況可以手算出來(伴隨矩陣除以行列式)，以得到固定的迭代公式，高維的情況也許有現(xiàn)成的計算機程序(實際上自己寫程序也不難，把行列式用定義法展開就可以計算，伴隨矩陣的固定求法也使得很容易程序?qū)崿F(xiàn))。
• 新求解出的自變量向量作為新的基準點，用相同的方法求解出下一組自變量，如此迭代就可以不斷提高解的精度。

PS: 牛頓法是非常快的局部收斂方法，然而切記在使用前要有一個相對精確的近似解，這個近似解通常由像隨機搜索算法這樣的全局方法得到。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数模笔记_多变量最优化计算之牛顿法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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