? ? ? ?剛剛工作的時候, 一個學生問我: 哪一個概念最能體現(xiàn)高等代數(shù)的本質(zhì)? 我當時的回答是矩陣的特征值. 現(xiàn)在再回答這個問題的話, 答案就不一樣了. 在由線性方程組發(fā)展出來的理論體系中, 有一個概念始終占據(jù)著核心地位, 那就是線性空間(或線性性)的概念. 很多學生都覺得代數(shù)比較難, 主要是覺得代數(shù)太抽象. 其實數(shù)學發(fā)展的一般規(guī)律是: 從特殊到一般, 從具體到抽象, 最后又回到特殊和具體, 也是螺旋式的. 然而這個過程就像生物進化一樣經(jīng)歷了前期長時間的發(fā)展, 在不斷的量變之后才在某個時間點突變, 實現(xiàn)了質(zhì)的飛躍. 我們在講授或者學習一個理論的時候, 常常忽略了其發(fā)展過程, 直奔結(jié)果而去, 這當然會給人一種突兀的感覺而難以接受. 學生們的一個通病是, 背起概念或結(jié)論來頭頭是道, 讓他們舉個例子或者講講其中的內(nèi)涵卻如登蜀道, 所謂知其然不知其所以然. 線性空間的概念其實很自然, 它孕育于古老的數(shù)學思想中, 讓我們從經(jīng)典的例子談起.

Finoancci 數(shù)列

? ? ? ?Fibonacci(斐波那契, 1175–1250)是意大利人, 被譽為中世紀最具天分的西方數(shù)學家. 他在年輕時游歷地中海沿岸各國, 學習印度、阿拉伯的數(shù)學知識, 回國后于 1202 年寫下了著名的《算盤書》, 其中有一個有趣的兔子問題: 兔子在出生一個月后就成年, 兩個月后就有繁殖能力. 每對有繁殖能力的兔子在每個月初都能生下一對小兔子, 假設(shè)兔子不死并且每對兔子都有同樣的繁殖能力. 如果第一年初有一對新生兔子, 第二年初將有多少對兔子?

? ? ? ?如果記第 n 個月初的兔子對數(shù)為 Fn, 則 F1= F2= 1, 且 n > 3 時滿足遞推關(guān)系 Fn= Fn?1+ Fn?2, 這就是所謂的 Fibonacci 數(shù)列. 這個數(shù)列其實早在公元前200 年就被印度數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了, 前幾項分別為 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,···, 一個有一點難度的問題是它的通項公式是什么?

? ? ? ?曾經(jīng)就這個問題問過一些學生(有中學生也有大學生), 有些人知道做法, 一般都會首先考慮特征方程. 我會打斷他們, 問為什么要考慮這個方程? 它為什么叫特征方程? 絕大多數(shù)學生都回答不出來. 這個問題可以從幾種不同的角度來看, 有初等的也有不那么初等的. 比如可以考慮把遞推關(guān)系中的三項化為兩項, 即設(shè) Gn= Fn? aFn?1, 希望遞推關(guān)系轉(zhuǎn)換為 Gn= bGn?1, 自然就需要a,b 滿足 a+b = 1, ab = ?1, 即 a,b 是方程 的根. 這樣, 求出 Gn就可以得到 Fn了.

? ? ? ?換一種體現(xiàn)線性性的思路. 我們把問題簡化一下, 不考慮 Fibonacci 數(shù)列的前兩項取值. 為了方便, 我們稱(實)數(shù)列 {an} 為類 Fibonacci 數(shù)列, 如果我們首先找一些類 Fibonacci 數(shù)列. 對于數(shù)列, 中學生最熟悉的是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 容易發(fā)現(xiàn), 等差的類 Fibonacci 數(shù)列的每一項都是 0, 等比情形更有趣一點. 什么樣的等比數(shù)列是類 Fibonacci 數(shù)列呢? 不難得到, 即 λ?是方程 的根, 特征方程再一次出現(xiàn)! 于是有兩個解. 因此有兩個滿足條件的等比數(shù)列. 實際上我們可以得到更多有類似性質(zhì)的數(shù)列, 任取(實)數(shù) k,l, 數(shù)列也滿足條件. 我們稱是與的線性組合. 實際上我們已經(jīng)得到所有滿足遞推關(guān)系的數(shù)列了(這并不是顯然的), 其中就包含F(xiàn)ibonacci 數(shù)列. 這時候需要利用 Fibonacci 數(shù)列的前兩項了, 于是我們有

容易求出 k,l, 即可得 Fibonacci 數(shù)列的通項公式了.

線性空間

? ? ? ?上述思路啟發(fā)我們應(yīng)該考慮類 Fibonacci 數(shù)列的全體, 記為 V . 這樣, 如果數(shù)列, 則(等價地,). 抽象地說, 一個非空集合 V 上如果能定義加法, 這個加法與整數(shù)的加法的性質(zhì)一樣: 有交換律、結(jié)合律、零元素與負元素, 并且也能做伸縮, 稱為數(shù)乘, 也就是某個數(shù)域 F(比如實數(shù)域、復(fù)數(shù)域或有理數(shù)域)上的數(shù)與 V 中的元素能相乘, 也滿足四條性質(zhì), 就稱 V 為 F 上的線性空間.

? ? ? ?除了類 Fibonacci 數(shù)列的全體, 常見的線性空間的例子其實很多. 比如中學里比較熟悉的平面向量, 向量可以用平行四邊形法則作加法, 也可以伸縮, 即向量的某個實數(shù)倍. 另一個常見的例子孕育在線性方程組 AX = β 的求解中. 如果求出

其一個解為 X0, 則對其任意解 X1, 有 X1? X0是 AX = 0 的解; 反之, AX = 0的任意解 Y , X0+ Y 是 AX = β 的解. 而 AX = 0 的解集具有更好的結(jié)構(gòu): 若Y1,Y2是其解, 則對任意 k,l, kY1+ lY2也是其解, 也就是說 AX = 0 的解是一個線性空間. 更一般的, 數(shù)域 F 上的 m × n 矩陣的全體就是 F 上的線性空間. 其中,?或自然也是線性空間. 在分析課程中也有很多線性空間的例子, 它們通常是由特定函數(shù)構(gòu)成的線性空間.?

? ? ? 線性空間的好處是其中有兩個運算, 這意味著空間中的元素有(線性)關(guān)系, 比如我們前面提到的一個元素是另外幾個元素的線性組合. 我們考慮平面向量的全體的時候, 通常會建立直角坐標系, 實際上就是選定兩個互相垂直的單位長度的向量 ε1,ε2, 所有向量的起點都在坐標原點. 這樣, 任何平面向量在兩個坐標軸上都有投影向量, 而投影向量自然是 ε1,ε2的某個實數(shù)倍, 于是平面向量都是坐標向量 ε1,ε2的線性組合. 我們稱 ε1,ε2為平面向量空間的一組基, 基的元素個數(shù)稱為空間的維數(shù). 同樣, 立體幾何中建立坐標系需要三個坐標向量, 也就是說也就是說空間三維的. 物理上說的時空還要增加時間維度, 故是四維的. 前面提到的類 Fibonacci 數(shù)列的全體也是二維的.?就是 mn 維的.

? ? ? ?不難驗證, 線性空間的基(坐標系)有很多選擇, 而維數(shù)始終是不變的, 因此, 維數(shù)是線性空間的一個重要的不變量, 實際上也是唯一的, 也就是說, 同樣維數(shù)的線性空間沒有本質(zhì)區(qū)別. 要理解這一點就需要建立線性空間之間的聯(lián)系, 也就是考慮映射.

線性映射與線性變換

? ? ? ?Klein 說: 函數(shù)是數(shù)學中最重要的概念. 也許把“函數(shù)”換成“映射”更準確一點. 在各種不同的數(shù)學環(huán)境下我們會關(guān)注不同性質(zhì)的映射: 連續(xù)、可微、光滑、解析等是拓撲、分析、幾何等學課中常見的; 下面要提到線性映射、以后會涉及的群同態(tài)、環(huán)同態(tài)、域同態(tài)、代數(shù)同態(tài)等是代數(shù)學中常見的; 更深的數(shù)學中如表示論、代數(shù)幾何、概率論中都會考慮一些特定的映射. 這些映射的共同點是它們需要保持所研究的對象的自身的性質(zhì)或者結(jié)構(gòu)(拓撲結(jié)構(gòu)、微分結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)等). 特別地, 一個集合到自身的映射稱為變換, 變換是研究一個數(shù)學對象本身性質(zhì)的重要工具.

? ? ? ?首先來看中學比較熟悉的平面向量. 在直角坐標系中, 每個向量被其終點的坐標唯一確定. 這就建立了平面向量的全體 V 到的一一對應(yīng) ?. 容易看出 ?是保持加法和乘法運算的, 即

?(α + β) = ?(α) + ?(β), ??(kα) = k?(α), ?α,β ∈ V, k ∈ R,

這樣的映射稱為線性映射. 線性映射如果是一一對應(yīng), 則稱其為線性同構(gòu). 兩個線性空間之間如能建立線性同構(gòu), 則這兩個空間在本質(zhì)上沒有區(qū)別. 利用基(或坐標系)很容易得到兩個線性空間是線性同構(gòu)的當且僅當它們的維數(shù)一樣.

? ? ? ?再如類 Fibonacci 數(shù)列的全體 V . 我們知道, 每個這樣的數(shù)列實際上由其前兩項唯一確定的, 也就可建立映射

這是 V 到 的一一對應(yīng), 容易驗證也是線性同構(gòu).?

? ? ? ?用這個觀點來看待線性方程組 AX = β, 其中,

映射 ? : X ? AX 是到的線性映射. 通常它不是一一對應(yīng). 如果 AX = β有解, 則 β 在 ? 的像空間中. 此時, 求 AX = β 的解實際上是求 β 在映射 ? 下的原像. 這兒有一個比較燒腦的概念—– 商空間. 簡單地說就是像空間中的元素 β 唯一的確定了定義域中的一個子集(β 的原像 ??1(β)), 于是這些子集的集合 V 與 ?的像空間存在一一對應(yīng), 從而 V 是一個線性空間, 稱為 的商空間. 從幾何上看, 所有的原像都是平行的, 它們都平行于 ??1(0), 而 ??1(0) 是一個線性空間, 稱其為定義域的一個子空間. 更一般地, 有線性映射或者子空間就可以自然定義商空間, 這個概念是可以推廣到其他代數(shù)環(huán)境中的.

特征值

? ? ? ?我們可以用線性映射的觀點來求 Fibonacci 數(shù)列的通項公式. 為了方便, 我們約定. 利用矩陣乘法, 不難得到

這樣就有. 也可以利用

且注意到，從而有

? ? ? 記?，于是問題轉(zhuǎn)化為求或者. 考慮 V 到自身的線性映射(稱為線性變換) ? : X ? AX, 問題轉(zhuǎn)換為求 ? 對中向量 α 迭代n 次的結(jié)果. 對于 α =，自然不好算, 不過我們可以尋找容易計算的元素, 比、例如是否存在元素 α ∈ 使得 ?(α) 為 α 的倍數(shù), 即存在 λ ∈ R 使得 ?(α) = λα? 這就是求線性方程組

的非零解. 根據(jù)Cramer 法則, 此時必須有系數(shù)矩陣的行列式為零, 即,也就是說 λ 是方程的根. 稱 λ為 ? 或 A 的特征值, 稱為特征多項式, 自然就是特征方程了. 此時有兩個解

代入原方程組分別得到解為

于是. 注意到

則

從而有.

? ? ? ??當然也可以計算 . 注意到, 故有

如果記, 則有AT=TA.?利用 Cramer 法則, 存在唯一的矩陣使得稱 S 為 T 的逆矩陣, 記為. 于是我們有?我們稱 A 與 Λ 相似. 由于 Λ 是對角矩陣, 也稱 A 可對角化. 由此,?.

? ? ? ?當然不是所有的矩陣都可對角化. 比如考慮滿足遞推關(guān)系的數(shù)列 {an}, 利用上述方法需要考慮矩陣. 這個矩陣的特征值只有 1(二重), 特征向量也只有一個(差別一個常數(shù)意義下). 因此, 此類矩陣就要進一步處理, 由此可以發(fā)展出 Jordan 標準形理論. 這可能是數(shù)學院系的本科生遇到的第一個系統(tǒng)完整的研究課題, 對它的理解可以反映出學生對高等代數(shù)內(nèi)容的程度.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab线性平面映射求通项_代数学发展史: 线性空间的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。