簡單粗暴傅里葉級數(shù)

楠木wnn2000@hust.edu.cn

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為什么寫本文？

作為筆記。

為什么給文章取這個名字？

前段日子拜讀過某pku學(xué)霸的《簡單粗暴 TensorFlow》。這篇教程，是不可多得的 TensorFlow 中文好教程。為了向這篇教程的作者致敬，我給這篇文章取這個名字。

鳴謝

特別感謝我的好友兼偶像，華中科技大學(xué)物理學(xué)院的黃晨同學(xué)給本文校對。

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一、預(yù)備知識

1.歐拉公式

歐拉是這樣證明它的。
由指數(shù)函數(shù)的麥克勞林展開式，有：
將其中的 換成 ，就得到：
得證。
證明看起來很完美，但是有一個小問題——麥克勞林展開的對象是實函數(shù)，當(dāng)帶上虛數(shù)單位 后能這樣展開嗎？
這種證明是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｊ聦嵣?#xff0c;歐拉公式是復(fù)指數(shù)函數(shù)定義的推論。
復(fù)分析中定義復(fù)指數(shù)函數(shù)如下：
由這個定義，歐拉公式顯然成立。
下面是一本教材中的內(nèi)容。可以看出歐拉公式其實是這個定義的推論，而不是證明出來的。

2.復(fù)指數(shù)的周期性

在實數(shù)域，指數(shù)函數(shù)沒有周期性，而在復(fù)數(shù)域，它有周期性。
從上述指數(shù)函數(shù)的定義，顯然有：

周期為 。

3.復(fù)指數(shù)的積分

我們考慮這樣一個指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)：

其中， 和 是整數(shù)， 是常數(shù)， 是自變量。
當(dāng)它在一個周期內(nèi)積分時，有：
顯然，如果 ，由于三角函數(shù)在周期內(nèi)積分值為 ，那么最終結(jié)果就是 。
如果 ，結(jié)果為 。
事實上，這就是三角函數(shù)的正交性。

二、傅里葉級數(shù)

1.定理的必要性

在工程上，虛數(shù)單位

寫作 。
對于周期為 ,角頻率 的函數(shù) ，不妨假設(shè)它可以展開成復(fù)指數(shù)級數(shù)(?)：
接下來，我們來確定系數(shù) ? 。
在等式左右兩邊同時乘以 ,并在一個周期內(nèi)取定積分：
若交換積分和求和順序(?)，繼續(xù)計算
由預(yù)備知識可知：
那么上面的式子就可化為：
所以，我們得到系數(shù) ：
至此，我們證明了必要性，即函數(shù) 展開成復(fù)指數(shù)級數(shù)的必要條件是其系數(shù) 為上式。
充分性請讀者參考狄利克雷定理，這里不給出證明。
積分和求和交換次序的問題請讀者參考分析教材，這里不給出證明。
至此，我們就將一個周期函數(shù)展開成了復(fù)指數(shù)級數(shù)。

2.如何理解？

如何理解這個式子？

其中，
從信號的分解角度看，對于任何一個滿足迪利克雷條件的周期信號，我們都可以將它分解成若干個頻率為 的復(fù)信號。其中， 是原信號的角頻率，稱為基波頻率。原信號是由無窮多個頻率為 的整數(shù)倍的復(fù)信號疊加而成的。

3.為什么要這樣分解？

如果你學(xué)過《信號與系統(tǒng)》，你就能更好理解這樣分解的好處。
對于一個線性時不變(LTI)系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為

。當(dāng)輸入信號為 時，系統(tǒng)的輸出 滿足：
如果輸入的是一個復(fù)指數(shù)信號 ，則由上述公式，有：
其中 是只與 有關(guān)的復(fù)常數(shù)。
當(dāng)輸入信號是復(fù)指數(shù)信號時，我們可以很容易確定它的輸出信號——一個復(fù)常數(shù)乘上輸入信號。
根據(jù)線性時不變(LTI)系統(tǒng)的線性性，輸出信號是輸入信號分解后，各分解信號單獨作用的輸出的線性組合。
如果我們利用傅里葉級數(shù)，將一個輸入信號分解成若干個復(fù)指數(shù)信號，則輸出信號就是這些復(fù)指數(shù)信號單獨作用的輸出的線性組合。而復(fù)指數(shù)信號單獨作用的輸出的形式又特別簡單，將它們線性組合后，我們就能簡單地獲得總輸出。
這就是我們展開成傅里葉級數(shù)的理由。
實現(xiàn)了從時域到頻域的轉(zhuǎn)變。

三、傅里葉級數(shù)的性質(zhì)

對于一個周期函數(shù)，將其展開成系數(shù)為

的傅里葉級數(shù)： ，則它有以下幾點性質(zhì)。

1.線性性

線性組合的傅里葉級數(shù)等于傅里葉級數(shù)的線性組合。

2.時移

的傅里葉展開式系數(shù)如下：

3.時間伸縮

的傅里葉展開式系數(shù)如下：
特別要注意，函數(shù)的周期和頻率都發(fā)生了變化。
可見時間伸縮后，其各項系數(shù)不變，但是它的基波頻率發(fā)生了改變。
減小周期，會增大基波頻率；增大周期，會減小基波頻率。

4.時間反褶

因為，

所以，
所以， 的展開系數(shù)為

5.微分性質(zhì)

若

是 的導(dǎo)函數(shù)，則 的傅里葉級數(shù)系數(shù)
證明如下：

6.實信號

如果

是實信號，那么 ?
證明如下，因為：
則，
因為，
所以，

7.奇偶性

如果

是實偶函數(shù)，那么
如果 是實奇函數(shù)，那么
不給出詳細(xì)證明了，可以簡單理解。
因為是實函數(shù)，根據(jù)上條性質(zhì)，可設(shè) ，
如果是偶函數(shù)，則 是余弦函數(shù)的線性組合。利用歐拉公式將余弦轉(zhuǎn)換成復(fù)指數(shù)，其系數(shù)都是實數(shù)。故
如果是奇函數(shù)，則 是正弦函數(shù)的線性組合。利用歐拉公式將余弦轉(zhuǎn)換成復(fù)指數(shù)，其系數(shù)都是純虛數(shù)。故

8.帕斯瓦爾定理

定理如下：

具體證明比較簡單就不給出了。
事實上，這個式子表示了功率守恒。左邊是原信號單位的功率，右邊是級數(shù)各部分的功率和。
有人可能會有疑問，為什么和的平方會等于平方的和?實際上，這個問題的答案就是三角函數(shù)的正交性，只有同頻率的相乘積分才不為

。

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全文完

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab求傅里叶级数展开式_简单粗暴傅里叶级数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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