利用matlab軟件求解常數e和歐拉常數γ.docx

1/5數學實驗報告利用MATLAB軟件求解常數E和歐拉常數Γ實驗目的利用MATLAB軟件計算常數E和Γ，并嘗試利用不同的算法計算，比較計算精度和時間，找到較好的算法。掌握MATLAB程序求和、求極限的方法，學會尋找更優算法。實驗內容1、求EE可以來源于兩個數列的極限和，即ENLIM11/XX,X∞(1式)SN1/01/11/21/31/41/5(2式)，根據1式，可在MATLAB上設計如下代碼FORN115N10NE11/NN求常數E的循環語句ENDATLONG使結果顯示16位雙精度數結果N算出的EN算出的E125937424601000029271828205201156022704813829421529102718282053234788327169239322355941127182820533571102/54271814592682492612271852349603723852718268237192298132716110034086901627182804690957531427161100340870237271828169413208215303503520654926282718281798347358E的標準值約為271828182845904523536由上述結果可知，使用1式，有很大的缺陷，不僅精度連107都沒有，而且當N109誤差開始變大。根據2式，可得如下代碼SUM0T1FORN118TNTSUMSUM1/TEND求常數E的循環語句E1SUMATLONG使結果顯示16位雙精度數結果N算出的EN算出的E121027182818011463852250000000000000011271828182619849332666666666666667122718281828286169427083333333333341327182818284467593/55271666666666666714271828182845823062718055555555556152718281828458995727182539682539681627182818284590428271827876984127017271828182845904692718281525573192182718281828459046E的標準值約為271828182845904523536如上所示，隨著N的增大，E的計算值越來越接近E的真實值但是，當N的值大于17后，計算的精度不再提高，原因是雙精度型數只能精確到16位，所以結果只有個位以及小數點后15位(最后一位是近似取的)，而1/181561016，所以N超過18再往下計算不會更精確。。在1式代碼中，11/N和N都只能精確到小數點后16位，兩者相乘，結果精度將只能精確到8位。在2式中，,每一項都能精確到小數點后16位，而E是所有項的和，求和后仍然能夠精確到小數點后16位。所以，對于某些使用數學軟件求解的問題，如果對精度有要求，應該盡量使用加、減運算，少用其他的運算例如乘、除、乘方、對數等，這樣可以提高運算精度。2、求Γ如此歐拉常數Γ也可以使用MATLAB求出較為精確的值。可由公式ΓLIMN→∞11/21/31/NLNN得出。FORN110S0FORI110NSS1/IENDYSLOG10N求常數Γ的循環語句ENDATLONG使結果顯示16位雙精度數結果4/5N算出的ΓN算出的Γ106263831609742086057721616490071520582207331651529705772157148989513057771558156820680577215669900188405772656640681659057721566540213950577220664893106100577215665057043Γ的權威數值約等于057721566490153286060651209。上述結果精度約有108，雖然精度還有提高空間，然而MATLAB上運行時，結果表明，增加N值，精度提高，運算時間也將大大加長(通常N超過10就需要好幾分鐘)使用級數來計算FORN19S0FORI110NSS1/ILOG11/IENDYS求常數Γ的循環語句ENDATLONG使結果顯示16位雙精度數結果N算出的ΓN算出的Γ10531072981169884605772151649020985/520572257000798361705772156149011663057671608123512580577215660395299405771656690678709057721566039536650577210664943251Γ的權威數值約等于057721566490153286060651209。上述結果精度也約有108，N再大就計算時間大大增加了，且可能會出錯。上面兩個算法都不能算出更為精確的歐拉常數的值，因為調和級數收斂較慢，因此MATLAB計算很緩慢。這也表明，這個算法還有待改進，需要更好的算法才能計算出Γ更精確的值。實驗總結本文探索了使用數學軟件求解常見常數的方法，并比較了算法的優劣，而算法不同，計算精度、時間相差很大，這表明，數學不能完全依靠計算機，人所編寫的算法也非常重要，計算機只是人的工具，人的思維能力才是最重要的。另外，我們也需要計算機強大計算能力的幫助，學會使用數學軟件，才能更加有效地發展數學。

總結

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