第二類邊界條件

弦的橫振動(dòng)方程 * 回顧 1、Delta函數(shù)及其性質(zhì) 2、Laplace變換及其性質(zhì) 3、Laplace變換的應(yīng)用 (線性性質(zhì)、位移性質(zhì)、延遲性質(zhì)、相似性質(zhì)、 微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、卷積性質(zhì)) 第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題 物理學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)物理方程 靜電勢(shì)和引力勢(shì)滿足的Laplace方程或Poisson方程 波的傳播問(wèn)題中的波動(dòng)方程 熱傳導(dǎo)問(wèn)題和擴(kuò)散問(wèn)題中的熱傳導(dǎo)方程 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的Navier-Stokes方程組和Euler方程組 描寫(xiě)電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)變化的Maxwell方程組 作為微觀物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的Schr?dinger和Dirac方程 彈性力學(xué)中的de Saint-Venant方程組 二階線性偏微分方程(組) 靜電勢(shì)的Laplace方程或Poisson方程 由靜電場(chǎng)的性質(zhì)： 或者: 在均勻?qū)w中，靜電勢(shì)滿足Laplace方程： 在有電荷分布的區(qū)域，靜電勢(shì)滿足Poisson方程： (靜電場(chǎng)方程) 穩(wěn)定問(wèn)題 1. 弦的微小橫振動(dòng) 考察一根長(zhǎng)為 且兩端固定、水平拉緊的弦． 討論如何將這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確： 確定弦的運(yùn)動(dòng)方程 (2)被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律. (3)按物理定理寫(xiě)出數(shù)學(xué)物理方程 要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 注意： 物理問(wèn)題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)使方程簡(jiǎn)化以便求解． 數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)需具有一般性。 根據(jù)牛頓第二定律 方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為： 作用于小段 的縱向合力應(yīng)該為零： 僅考慮微小的橫振動(dòng)， 夾角 為很小的量，忽略 及其以上的高階小量，則根據(jù)級(jí)數(shù)展開(kāi)式有 注意到: 故得 這樣，我們就得到(忽略弦的重力)： 因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出 又因?yàn)?#xff1a; 綜上，可得： 弦(自由)振動(dòng)方程 (弦中的張力不隨 x 變化) 如果弦振動(dòng)過(guò)程中受到橫向外力的作用，則振動(dòng)方程應(yīng)為： 弦的受迫振動(dòng)方程 均勻桿的縱振動(dòng)方程 均勻桿中 x 處 dx 段的運(yùn)動(dòng)方程為 可得 　 這就是桿的縱振動(dòng)方程． 熱傳導(dǎo)方程 k 是熱傳導(dǎo)系數(shù)，c是比熱，ρ是密度。 擴(kuò)散方程 D 是擴(kuò)散系數(shù)。 量子力學(xué)中的Schr?dinger方程 如果勢(shì)能函數(shù)不顯含時(shí)間，則上述方程簡(jiǎn)化為： 含時(shí)Schr?dinger方程 定態(tài)Schr?dinger方程 邊界條件與初始條件 由物理學(xué)規(guī)律出發(fā)得到的數(shù)學(xué)物理方程是某一類(或幾類) 物理現(xiàn)象所必需遵循的，并不能唯一地、確定地描寫(xiě)某一個(gè)具體 的物理過(guò)程。例如從Newton第二運(yùn)動(dòng)定律得到的動(dòng)力學(xué)方程并不 能唯一地確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；完全確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)還需要有初始條 件。 一般地，要完全描寫(xiě)一個(gè)具有確定解的物理問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上 就是要構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題。除了微分方程之外，構(gòu)成定解問(wèn)題還 必須有邊界條件和初始條件。邊界條件用于確定體系和外界的相 互作用，初始條件用于確定體系的歷史狀況。 初始條件 初始條件用于確定體系的歷史狀況，當(dāng)所考察的物理現(xiàn)象 是隨時(shí)間變化的時(shí)候，需要確定體系的初始條件來(lái)唯一確定地 描述該現(xiàn)象。(穩(wěn)定問(wèn)題不需要初始條件) 如對(duì)于傳導(dǎo)或擴(kuò)散過(guò)程，需要初始條件確定體系的初始狀態(tài)： 對(duì)于振動(dòng)過(guò)程，所需初始條件則需要包含速度的信息： 邊界條件 體系的邊界會(huì)影響體系的物理狀態(tài), 體系的邊界情況由邊界 條件確定. 邊界條件反應(yīng)體系和外界的界面上的情況. 常見(jiàn)的邊界條件可以分為三類 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 *

總結(jié)

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