第二類邊界條件

弦的橫振動方程 * 回顧 1、Delta函數及其性質 2、Laplace變換及其性質 3、Laplace變換的應用 (線性性質、位移性質、延遲性質、相似性質、 微分性質、積分性質、卷積性質) 第七章 數學物理定解問題 物理學中常見的數學物理方程 靜電勢和引力勢滿足的Laplace方程或Poisson方程 波的傳播問題中的波動方程 熱傳導問題和擴散問題中的熱傳導方程 連續介質力學中的Navier-Stokes方程組和Euler方程組 描寫電磁場運動變化的Maxwell方程組 作為微觀物質運動規律的Schr?dinger和Dirac方程 彈性力學中的de Saint-Venant方程組 二階線性偏微分方程(組) 靜電勢的Laplace方程或Poisson方程 由靜電場的性質： 或者: 在均勻導體中，靜電勢滿足Laplace方程： 在有電荷分布的區域，靜電勢滿足Poisson方程： (靜電場方程) 穩定問題 1. 弦的微小橫振動 考察一根長為 且兩端固定、水平拉緊的弦． 討論如何將這一物理問題轉化為數學上的定解問題．要確定弦的運動方程，需要明確： 確定弦的運動方程 (2)被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律. (3)按物理定理寫出數學物理方程 要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 注意： 物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當假設使方程簡化以便求解． 數學物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規律，所以考察點需具有一般性。 根據牛頓第二定律 方向運動的方程可以描述為： 作用于小段 的縱向合力應該為零： 僅考慮微小的橫振動， 夾角 為很小的量，忽略 及其以上的高階小量，則根據級數展開式有 注意到: 故得 這樣，我們就得到(忽略弦的重力)： 因此在微小橫振動條件下，可得出 又因為： 綜上，可得： 弦(自由)振動方程 (弦中的張力不隨 x 變化) 如果弦振動過程中受到橫向外力的作用，則振動方程應為： 弦的受迫振動方程 均勻桿的縱振動方程 均勻桿中 x 處 dx 段的運動方程為 可得 　 這就是桿的縱振動方程． 熱傳導方程 k 是熱傳導系數，c是比熱，ρ是密度。 擴散方程 D 是擴散系數。 量子力學中的Schr?dinger方程 如果勢能函數不顯含時間，則上述方程簡化為： 含時Schr?dinger方程 定態Schr?dinger方程 邊界條件與初始條件 由物理學規律出發得到的數學物理方程是某一類(或幾類) 物理現象所必需遵循的，并不能唯一地、確定地描寫某一個具體 的物理過程。例如從Newton第二運動定律得到的動力學方程并不 能唯一地確定質點的運動；完全確定質點的運動還需要有初始條 件。 一般地，要完全描寫一個具有確定解的物理問題，在數學上 就是要構成一個定解問題。除了微分方程之外，構成定解問題還 必須有邊界條件和初始條件。邊界條件用于確定體系和外界的相 互作用，初始條件用于確定體系的歷史狀況。 初始條件 初始條件用于確定體系的歷史狀況，當所考察的物理現象 是隨時間變化的時候，需要確定體系的初始條件來唯一確定地 描述該現象。(穩定問題不需要初始條件) 如對于傳導或擴散過程，需要初始條件確定體系的初始狀態： 對于振動過程，所需初始條件則需要包含速度的信息： 邊界條件 體系的邊界會影響體系的物理狀態, 體系的邊界情況由邊界 條件確定. 邊界條件反應體系和外界的界面上的情況. 常見的邊界條件可以分為三類 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 *

總結

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