第三章線性方程組數值解法解線性方程組 §3.1 直接法一、 Gauss　消去法設 有消 元： 用Matlab實現順序Gauss消去法在Matlab程序編輯器中輸入：function x=nagauss(a,b,flag) %解線形方程組ax=b，a為系數矩陣，b為右端列向量，flag若為0，則顯示中間過程，否則不顯示，默認為0，x為解向量if nargin<3,flag=0;endn=length(b); a=[a,b];% 消元for k=1:(n-1) a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))-a((k+1):n,k)/a(k,k)*a(k,(k+1):(n+1)); a((k+1):n,k)=zeros(n-k,1); if flag==0,a,endend % 回代x=zeros(n,1);x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k,:)=(a(k,n+1)-a(k,(k+1):n)*x((k+1):n))/a(k,k);end程序運行結果：二 列主元素Gauss消去法---計算結果可靠到此原方程組化為 直到(n-1) 原方程組化為(上三角方程組) (3.2)以上為消元過程。(n) 回代求解公式 (3.3)系數矩陣為對稱正定陣或嚴格對角占優陣的方程組按高斯消去法計算是數值穩定的，因而不必選主元。嚴格對角占優陣：至少有一個主對角線元素的絕對值嚴格大于此行或此列其他元素的絕對值之和。說明： (1)也可采用無回代的列主元消去法(叫Gauss- --Jordan消去法)，但比有回代的列主元消 去法的乘除運算次數多。 (2)有回代的列主元消去法所進行的乘除運算 次數為 ，量很小。Gauss 列主元消去法： 優點 ------ 計算結果更可靠； 缺點 ------ 挑主元花機時更多,次序有變動，程序復雜。用Matlab實現選列主元Gauss消去法解線性方程組在Matlab程序編輯器中輸入：function x=nagauss2(a,b,flag) %a為系數矩陣；b為右端列向量；flag若為0，則顯示中間過程，否則不顯示if nargin<3,flag=0;endn=length(b); a=[a,b];% 選主元for k=1:(n-1)[ap,p]=max(abs(a(k:n,k)));p=p+k-1;if p>k,t=a(k,:); a(k,:)=a(p,:); a(p,:)=t; end% 消元 a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))-a((k+1):n,k)/a(k,k)*a(k,(k+1):(n+1)); a((k+1):n,k)=zeros(n-k,1); if flag==0,a,endend %回代x=zeros(n,1);x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k,:)=(a(k,n+1)-a(k,(k+1):n)*x((k+1):n))/a(k,k);end程序運行結果: 三．矩陣三角分解法 Gauss消元，初等行變換，化原方程組為上三角型。記，則 (三角因子分解) 叫的三角(因子)分解，其中 是定義3.1 下三角,是上三角。為單位下三角陣(對角元全為1)，定義3.2 若定義3.2 若為上三角陣，則稱 為Doolittle分解;若 是下三角， 是單位上三角，則稱 為Crout分解。 為什么要討論三角分解？若在消元法進行前能實 現三角分解， 則從而容易回代求解。1．直接三角分解法(Doolittle分解為例)　　由矩陣乘法……………………… …….(k)例3．1用Matlab實現LU分解在Matlab程序編輯器中輸入：function [L,U]=nalu(a) % a為可逆方陣；L返回單位下三角矩陣；U返回上三角矩陣n=length(a);U=zeros(n,n);L=eye(n,n);U(1,:)=a(1,:);L(2:n,1)=a(2:n,1)/U(1,1);for k=2:n U(k,k:n)=a(k,k:n)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,k:n); L(k+1:n,k)=(a(k+1:n,k)-L(k+1:n,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);end程序運行結果:2．平方根法定理3.1 設A對稱正定，則有非奇異下三角陣L，使分解方法：設3.列主元的三角分解法例4 對下面的增廣矩陣用列主元三角分解法分解。四、解三對角方程組——追趕法利用Gauss消元法得到同解的三角方程為 , (3.1)故有解(3.2)解(3.3) (3.1) —(3.3) 叫追

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總結

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