[理學]數值分析習題解答

6.(1)設，試求

(2)設，試求

解

；

4．設，

(1)試對進行PLU分解：；

(2)根據PLU分解求解。

解 (1)

(2)

8．分別用Householder變換法和MGS法對進行QR分解

解　(1) Householder法對A進行QR分解

令，調用算法2.1有，所以

,

故

再令,調用算法2.1得,則

,

故

.

10．

求的最小二乘問題的全部解。

解

因為

所以，齊次方程組的基礎解系為

的特解為

所以的LS問題的全部解為

第三章習題解

第一題:

因為有三對數據故可以求次數不超過2的插值多項式。

若用Lagrange插值法：

若用Newton插值法：

xkf(xk)f[x0,x1]f(x0,x1,x2)01121243/21/2

若用分段線性插值法，則插值函數有兩個分枝。

第二題：

由插值余項可得：

第三題：

所用的插值數據如下表：

x0.40000.50000.60000.70000.8000y0.38940.47940.56460.64420.7174dy0.92110.87760.82530.76480.6967Newton插值法可得差商表：

xkf(xl)一階差商二階差商三階差商四階差商0.40000.3894NaNNaNNaNNaN0.50000.47940.9000NaNNaNNaN0.60000.56460.8760-0.2400NaNNaN0.70000.64420.8493-0.2533-0.1333NaN0.80000.71740.8200-0.2667-0.1333-0.0000由此可以寫出Newton插值多項式N4(x)=?，并且可以求出

要注意這里求出的應當是次數不超過四次的newton插值多項式。

(2)如果用分段線性插值，則只需要求出0.5789所在的小區間上的線性插值多項式的表達式，再把0.5789代入即求sin0.5789的近似值：

(3)如果用分段三次Hermite插值，則只需要求出0.5789所在的小區間上的三次Hermite插值多項式的表達式，再把0.5789代入即求sin0.5789的近似值：

第四題：

對f(x)求導后易判斷f(x)存在反函數，因此就是所要求的根。現在對進行插值，使用如下數據表：

f(x)0.70010.40160.1081-0.1744-0.4375x0.10000.20000.30000.40000.5000差商表為：

ykf-1(yk)一階差商二階差商三階差商四階差商0.70010.1000NaNNaNNaNNaN0.40160.2000-0.3350NaNNaNNaN0.10810.3000-0.33780.0096NaNNaN-0.17440.4000-0.34310.0140-0.0153NaN-0.43750.5000-0.35160.0198-0.01860.0125利用Newton插值法，可得近似根：

真正的零點為。這種求根方法稱為反插值法。

第六題：

解：由于是等距節點，故。再由于函數值都為時尚早，故各階差商都為0，從而。由(2。16)得三次樣條的基本方程組為

(1)由第一邊界條件可得另外兩個方程

從而由(2。20)建立第一邊界的三次樣條方程組

求解此方程組得解，再由公式(2。15)就可以建立三次樣條的系數矩陣：

因此可以寫出第一邊界條件下的三次樣條函數：

(2)由第二邊界條件由第二邊界條件及三次樣條的基本方程可得

由此可得解，再由公式(2。15)就可以建立三次樣條的系數矩陣：

因此可以寫出第二邊界條件下的三次樣條函數：

利用MATLAB的函數csape求出的結果與此相同。

第七題：

(1)第一數據表的插值多項式是二點三次Hermite插值多項式，利用公式(1。23)，插值基函數為：

因此所求插值多項式為：

(2)共有五對插值數據，可以唯確定一個至多四次的插值多項式，由于數據的特殊性采用待定系數法：

由于在x=0處的函數值及導數值均為0，故得從而只有三個系數需要確定：

再由其余三對數據可得如下方程組：

第八題：

插值基函數見課本P60公式(1。7)，要注意插值節點節點是互不相同的。

(1)證：常值函數在節點處的Lagrange插值多項式恰為

因為f(x

總結

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