文章目錄

• 前言
• 1 引例一人口預測問題
• 2 曲線擬合的原理
• 3 曲線擬合的實現方法
• 4 實際應用-家庭儲蓄規律問題
• 小結

前言

本文是科學計算與MATLAB語言課程的第5章第5、6小結的學習筆記，通過查閱本文，可以輕松掌握利用MATLAB進行數據擬合了。$Enjoyyourreading!$
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1 引例一人口預測問題

人口增長是當今世界上都關注的問題，對人口增長趨勢進行預測是
各國普遍的做法。已知某國1790年到2010年間歷次人口普查數據如
下表所示，請預測該國2020年的人口數。

年份179018001810182018301840185018601870188018901900

人口（百萬）	3.9	5.3	7.2	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4	38.6	50.2	63.0	76.0
年份	1910	1920	1930	1940	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2010
人口（百萬）	92.0	105.7	122.8	131.7	150.7	179.3	203.2	226.5	248.7	281.4	308.7

解題思路：找一個函數，去逼近這些數據，然后再根據找到的函數，計算預測點的值。

x=1790:10:2010; y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6, 50.2,63.0,76.0,92.0,105.7,122.8,131.7,150.7,179.3,203.2,226.5,248.7,281.4,308.7]; plot(x,y,'*'); p=polyfit(x,y,3); polyval(p,2020) plot(x,y,'*',x,polyval(p,x));

2 曲線擬合的原理

曲線擬合的原理
與數據插值類似，曲線擬合也是一種函數逼近的方法。

$x$$x_1{x}_2...x_k...x_n$

$y$	$y_1{y}_2...y_k...y_n$

$y=f(x)$
構造函數$g(x)$去逼近未知函數$f(x)$，使得誤差
$\delta =g(x_i)?f(x_i)(i=1,2,3,\dots ,n）$在某種意義下達到最小。
兩個問題：
（1）用什么類型的函數做逼近函數？
多項式函數
（2）誤差最小到底怎么計算？
最小二乘法
最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和來尋找數據的最佳函數匹配。
設p（x）是一個多項式函數
$p（x）=a_{m}x+a_{m?1}{x}^{m?1}+\dots +a_{1}x+a_o$，且
$\sum _{i=1}^n（p(x_i)?y_i{)}^2$的值最小，
則p（x）為原函數y=f（x）的逼近函數。

3 曲線擬合的實現方法

MATLAB中的多項式擬合函數為polyfit（），其功能為求得最小二乘擬合多項式系數，其調用格式為：
（1）P=polyfit（X，Y，m）
（2）[P，S]=polyfit（X，Y，m）
（3）[P，S，mu]=polyfit（X，Y，m）
根據樣本數據X和Y，產生一個m次多項式P及其在采樣點誤差數據S，mu是一個二元向量，mu（1）是mean（X），而mu（2）是std（X）。
[P，S，mu]=polyfit（X，Y，m）有什么用呢？mean（X）、std（X）又是什么意思呢？。mean函數是一個求數組平均值的函數,std函數是求標準差。
在引例中，我們已經用polyfit（）函數預測了某國2020年的人口數。這個結果是否正確呢？我們無法得到2020年的數據，但是2016年的數據已經有了。所以，不妨再預測一下該國2016年的人口數。
polyval（p，2016）
ans=
327.0964
該國2016年人口數實際為323.1。
思考：相對誤差1.24%，怎樣才能減小？
問題分析：
據研究，一個國家的人口增長具有如下特點：
（1）發展越平穩，人口增長越有規律。
（2）當經濟發展到一定水平時，人口增長率反而下降。
換言之，在不同的環境和經濟發展水平，人口可能有不同的增長規律。
結論：
在人口增長數據的擬合上，應該將二戰后至今這一時期的數據與此前的數據分開處理。

x=1950:10:2010; y=[150.7,179.3,203.2,226.5,248.7,281.4,308.7]; p=polyfit(x,y,3) p=polyfit(x,y,2); plot(x,y,'*',x,polyval(p,x)) polyval(p,2016) polyval(p,2020) ans= 325.1696 ans= 336.7857%相對誤差成功減小到0.64%！

結論：
（1）要對問題的背景進行詳細的分析。
（2）采樣點并非越多越好，適當的時候，可以減少采樣點，分段進行擬合。

4 實際應用-家庭儲蓄規律問題

以下是某市家庭收入x與家庭儲蓄y之間的一組調查數據（單位：萬元），試建立x與y的線性函數經驗公式。

x0.61.01.41.82.22.63.03.43.84

y	0.08	0.22	0.31	0.4	0.48	0.56	0.67	0.75	0.8	1.0

x=[0.6,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4,3.8,4]; y=[0.08,0.22,0.31,0.4,0.48,0.56,0.67,0.75,0.8,1.0]; p=polyfit(x,y,1) plot(x,y,'*',x,polyval(p,x)) p= 0.2390-0.0418 %經驗公式：y=0.239x-0.0418

最后幾組數據誤差還是挺大的。
那么總結一下，曲線擬合有哪幾種功能呢？
（1）估算數據
（2）預測趨勢
（3）總結規律
數據擬合和數據插值有什么區別呢？
相同點:
(1)都屬于函數逼近的方法；
(2)都可以通過離散有限的數據估算其他數據。
不同點:
(1)實現方法上，數據插值要求逼近函數經過樣本點，而曲線擬合只需要每個數據點的誤差平方和最小；
(2)結果形式上，數據插值往往沒有統一的逼近函數，而數據擬合有統一的逼近函數；
(3)側重點上，數據插值一般用于樣本點區間內的數據計算，而曲線擬合不光可以估算區間內的數據，也可以對區間外的進行預測；
(4)應用場合上，如果樣本點為精確數據，使用數據插值比較好，如果數據為統計數據，則使用曲線擬合更優。

小結

曲線擬合和數據插值有所不同，各有側重。奧里給，學好它，讓它為我所用。最后不要忘記
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總結

以上是生活随笔為你收集整理的如何利用MATLAB进行数据拟合？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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