* 基金項目: 國家自然科學基金( 11571094) 正交表的構造方法及 Matlab 實現* 河南師范大學數學與信息科學學院( 453007) 龐善起 鹿姍姍 正交試驗設計是研究多因素水平的試驗設計方法，它是一種高效率、快速、經濟的試驗設計方法。正交表在衛生、統計、醫藥、農業、制造業等方面都有非常重要的應用，尤其是高強度正交表可以研究較多因素之間的相互作用，但是正交表的強度越高越難構造; 另外，混合正交表的魅力在于它有較大的靈活性，允許試驗因素具有不同水平數，得到了越來越多的關注。因此如何快速、高效地得到需要的正交表是有必要和有意義的。 至今為止，已經有許多組合數學家和統計學家致力于正交表的研究，例如楊子胥、龐善起、張應山、杜蛟等分別在文獻［1 － 8］中給出了不同類型的正交表的構造方法，這些正交表不僅在試驗設計中有廣泛的應用，隨著研究的不斷深入，它們還可以被應用于編碼學、密碼學、計算機科學中。 正交表構造方法與原理 1. Ltu( tm) 型正交表［1］ 假設 t 為任意一個素數或者素數方冪，而 GF( t) 為 t 階有限域。令 Vu = { 一切 u 維向量( a1，a2，…，au) } ，其中 ai∈GF( t) ，且 u ＞1。并且 Vu 對于向量的加法以及域中元素與向量的乘法，作成域 GF( t) 上包含 tu 個向量的一個向量空間。在空間 Vu 中，以下的 tu －1 t －1 個向量( 最后一個不等于0 的分量都是1) 是兩兩 線性無關的: ( 1，0，0，…，0，0，0) 1 個 ( bu －1，1，1，0，…，0，0，0) t 個 ( bu －2，1，bu －2，2，1，…，0，0，0) t2 個   ( b2，1，b2，2，b2，3，…，b2，u －2，1，0) tu －2個( b1，1，b1，2，b1，3，…，b1，u －2，b1，u －1，1) tu －1個因為每個 bij為域 GF( t) 的所有元素，即有 t 種取法，所以以上的向量，就是 Vu 的全部標準向量，共有 1 + t + t2 + …+ tu －2 + tu －1 = tu －1 t －1 個。 構造 Ltu( tm) 型正交表的方法和步驟如下: 第 1 步，先給出 t 階有限域 GF( t) ; 第2 步，再給出域 GF( t) 上的全體 u 維向量( 共 tu 個) 和全部的標準向量( 共tu －1 t －1 個) ; 第3 步，以全體向量為行號，以全部的標準向量為列號，做出所有內積即可得 Ltu( tm) 型正交表。 2. 混合水平正交表 混合水平正交表［1］可由 Ltu( tm) 型正交表通過并列而產生。構造混合水平正交表的方法和步驟如下: 第 1 步，可借助上文 Ltu( tm) 型正交表的方法得到 Ltu( tm) 型正交表; 第2 步，從 Ltu( tm) 中任意取定 k 個獨立的列( k ＜ u) ; 第 3 步，從 Ltu( tm) 中去掉能用這 k 列線性表示的所有列( 因此，剩下的任一列與這 k 列線性無關) ，設剩下的列所構成的正交表為 Ltu ( tr ) ，其中，r = m － tk －1 t －1 ; 第 4 步，再將這 k 列同行元素所構成的 tk 個互異的有序組，按字典排列法與 tk 個自然數 1，2，…，tk 建立一一對應，而把這 k 列所構成的每個有序組均換成它對應的自然數，便得到一個新的 tk 水平列; 第 5 步，把這個新列添加到 Ltu( tr) 上去，即得到混合水平正交表 Ltu t1 × t( )r

總結

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