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微波仿真論壇_附錄 COMSOL Multiphysics的MATLAB矢量計算基礎.doc21頁

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附錄 COMSOL Multiphysics的MATLAB矢量計算基礎

W. B. J. ZIMMERMAN1，J. M. REES2

1Department of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield,

Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United Kingdom

2Department of Applied Mathematics, University of Sheffield, Hicks Building, Sheffield

矢量計算支撐了偏微分方程和它們的數值近似求解。為了很好的使用有限元方法，建模人員應該掌握矢量計算基礎知識。本科畢業的工程師可能學過矢量計算的數學課程，但是由于沒有碰到過矢量計算的實際應用，這時在工程建模中使用矢量計算就受到限制。本附錄介紹了所有COMSOL MULTIPHYSICS WITH MATLAB中用到的矢量計算基礎知識。所以也可以將該附錄當作是COMSOL MULTIPHYSICS WITH MATLAB多變量微分計算的入門讀本。當我們寫該附錄時曾經爭論過是否將這部分內容直接加入到第一章(數值分析基礎)中，因為導數的數值近似是偏微分方程求解的基礎，而偏微分方程是COMSOL MULTIPHYSICS的基本運算單元。確實，在學習波譜法求解偏微分方程時，基本理論就是“導數理論”——如何使用波變換方法來近似導數。所以通過對比發現，有限元方法的基礎就是數值微分。所以爭論就不存在了，第一章主要是關于COMSOL MULTIPHYSICS直接計算的基本問題的。但是不管多有用，近似導數仍然只是建模的一個中間步驟，不是目標本身。

我們這里只考慮用于矢量計算的MATLAB基礎，本附錄的重點在于特征值分析和邏輯表達式。這些在整本書中都有體現。應當注意到我們這里介紹的每個功能都可以在COMSOL Script中實現。本書中唯一不能在COMSOL Script中實現的Matlab命令就是fminsearch。

1．矢量回顧

1.1 矢量表達

FEMLAB可以處理標量、矢量和矩陣數據，這里簡單介紹一下矢量的表達(作為MATLAB矩陣數據類型的一個特例)。標量可以作為一個單獨的數，但是矢量是具有大小和方向的。在如圖1所示的右手坐標系系統中，向量a用以下形式表達：

(1)

這里，和是坐標方向的單位矢量，，，是向量在各軸方向上的分量。它們是對各單位矢量，和的投影。對于坐標系中的P點(x，y，z)，矢量P對于初始坐標系統O的位置為：

(2)

MATLAB用分量的形式描述列矢量或行矢量：

>> a = [1; 2; 3]; % column vector

>> a = [1 2 3]; % row vector

在行向量中，空白(任意連續空格)作為分界符。列向量用分號或者回車符分界：

>> a = [1

2

3];

1.2 內積，矩陣乘法，單位矢量和矢積

典型的內積(或點積)定義為：

(3)

這里是矢量和的夾角。為了在MATALB中達到相同的目的，我們使用*運算符：

>> a = [1; 2; 3];

>> b = [-3 2 -1];

>> b*a

ans =

-2

這是一個行向量(1×3矩陣)乘以列向量(3×1矩陣)的特殊情況。因為前者的列數和后者的行數相等，這兩個矩陣是相容的，可以根據矩陣乘法通用法則計算。

(4)

如果A是m×n矩陣，B是n×l矩陣，則AB是m×l矩陣。如果共用的維數不同，那么矩陣不相容，不能定義乘法運算。MATLAB也可以將標量乘法作為特殊矩陣乘法來計算，但是必須考慮矩陣的相容性。例如

>> a*b

ans =

-3 2 -1

-6 4 -2

-9 6 -3

出現了什么情況？很簡單，a是3×1矩陣，乘以1×3矩陣b，得到的ab是3×3矩陣。

(5)

對于向量，矩陣(ab)ik稱為a和b的并積或并矢。這是矩陣外積的特殊情況，這里標量乘積也算內積。

在MATLAB中通過轉置運算符“’”可以實現兩個行向量或兩個列向量的內積，它是一個一元運算符，容易被誤解為英語中的縮寫符號。

ans =

-2

but

>> a*b’

ans =

-3 2 -1

-6 4 -2

-9 6 -3

仍然產生并矢。必須自己考慮矩陣的相容性。如果a和b是行向量，那么*a或a*將產生內積還

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總結

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