本題來自左神《程序員面試代碼指南》“環形單鏈表的約瑟夫問題”題目。

題目

據說，著名猶太歷史學家 Josephus 有過以下故事：

在羅馬人占領喬塔帕特后，39 個猶太人與Josephus 及他的朋友躲到一個洞中，39 個猶太人決定寧愿死也不要被敵人抓到，于是決定了一種自殺方式，41 個人排成一個圓圈，由第 1 個人開始報數，報數到 3 的人就自殺，然后再由下一個人重新報 1，報數到 3 的人再自殺，這樣依次下去，直到剩下最后一個人時，那個人可以自由選擇自己的命運。這就是著名的約瑟夫問題。現在請用單向環形鏈表描述該結構并呈現整個自殺過程。

輸入：一個環形單向鏈表的頭節點 head 和報數的值 m。

返回：最后生存下來的節點，且這個節點自己組成環形單向鏈表，其他節點都刪掉。

進階問題：如果鏈表節點數為 N，想在時間復雜度為 O(N)時完成原問題的要求，該怎么實現？

題解

普通解法

普通的解法就像題目描述的過程一樣，具體實現請參看如下代碼中的 josephusKill1 方法。

1．如果鏈表為空或者鏈表節點數為 1，或者 m 的值小于 1，則不用調整就直接返回。
2．在環形鏈表中遍歷每個節點，不斷轉圈，不斷讓每個節點報數。
3．當報數到達 m 時，就刪除當前報數的節點。
4．刪除節點后，別忘了還要把剩下的節點繼續連成環狀，繼續轉圈報數，繼續刪除。
5．不停地刪除，直到環形鏈表中只剩一個節點，過程結束。

/*** 循環報數，報到 m 的人自殺*/ public static Node josephusKill1(Node head, int m) {if (head == null || head.next == head || m < 1) {return head;}Node last = head;while (last.next != head) {last = last.next;}int count = 0;while (head != last) { // 直到僅剩一個為止if (++count == m) { // 正好數到 mlast.next = head.next; // 刪除 head 所指向的節點count = 0; // 歸零，下一個重新計數} else { // 繼續往后數last = last.next;}head = last.next; // head 在前面走，last 在后面跟著}return head; }

普通的解法在實現上不難，就是考查面試者基本的代碼實現技巧，做到不出錯即可。

很明顯的是，每刪除一個節點，都需要遍歷 m 次，一共需要刪除的節點數為 n-1，所以普通解法的時間復雜度為 O(n×m)，這明顯是不符合進階要求的。

下面介紹進階的解法。

進階解法

原問題之所以花費的時間多，是因為我們一開始不知道到底哪一個節點最后會活下來。所以依靠不斷地刪除來淘汰節點，當只剩下一個節點的時候，才知道是這個節點。如果不通過一直刪除方式，有沒有辦法直接確定最后活下來的節點是哪一個呢？這就是進階解法的實質。

舉個例子，環形鏈表為：1->2->3->4->5->1，這個鏈表節點數為 n=5，m=3。通過不斷刪除的方式，最后節點 4 會活下來。但我們可以不用一直刪除的方式，而是用進階的方法，根據 n 與 m 的值，直接算出是第 4 個節點最終會活下來，接下來找到節點 4 即可。

到底怎么直接算出來呢？首先，如果環形鏈表節點數為 n，我們做如下定義：從這個環形鏈表的頭節點開始編號，頭節點編號為 1，頭節點的下一個節點編號為 2，……，最后一個節點編號為 n。然后考慮如下問題：

最后只剩下一個節點，這個幸存節點在只由自己組成的環中編號為 1，記為 Num(1) = 1；
在由兩個節點組成的環中，這個幸存節點的編號是多少呢？假設編號是 Num(2)；
……
在由 i-1 個節點組成的環中，這個幸存節點的編號是多少呢？假設編號是 Num(i-1)；
在由 i 個節點組成的環中，這個幸存節點的編號是多少呢？假設編號是 Num(i)；
……

在由 n 個節點組成的環中，這個幸存節點的編號是多少呢？假設編號是 Num(n)。
我們已經知道 Num(1) = 1，如果再確定 Num(i-1)和 Num(i)到底是什么關系，就可以逐漸求出 Num(n)了。下面是求解的過程。
首先來認識一個非常簡單的函數 f(x)=x%i 的圖像，如圖 2-1 所示。

報數和編號之間的關系

假設現在圈中一共有 i 個節點，從頭節點開始報數，報 1 的是編號 1 的節點，報 2 的是編號 2 的節點，那么報數和編號的關系如下。

舉個例子，環形鏈表有 3 個節點，報 1 的是編號 1，報 2 的是編號 2，報 3 的是編號 3，報
4 的是編號 1，報 5 的是編號 2，報 6 的是編號 3，報 7 的是編號 1……
報數和編號的關系圖如圖 2-2 所示。




1．遍歷鏈表，求鏈表的節點個數記為 n，時間復雜度為 O(N)。
2．根據 n 和 m 的值，還有上文分析的 Num(i-1)（新編號）和 Num(i)（老編號）的關系，依次求生存節點的編號。這一步的具體過程請參看如下代碼中的 getLive 方法，getLive 方法為單決策的遞歸函數，且遞歸為 N 層，所以時間復雜度為 O(N)。
3．最后根據生存節點的編號，遍歷鏈表找到該節點，時間復雜度為 O(N)。
4．整個過程結束，總的時間復雜度為 O(N)。

進階解法的全部過程請參看如下代碼中的 josephusKill2 方法。

代碼

package chapter_2_listproblem;public class Problem_06_JosephusProblem {public static class Node {public int value;public Node next;public Node(int data) {this.value = data;}}/*** 循環報數，報到 m 的人自殺*/public static Node josephusKill1(Node head, int m) {if (head == null || head.next == head || m < 1) {return head;}Node last = head;while (last.next != head) {last = last.next;}int count = 0;while (head != last) { // 直到僅剩一個為止if (++count == m) { // 正好數到 mlast.next = head.next; // 刪除 head 所指向的節點count = 0; // 歸零，下一個重新計數} else { // 繼續往后數last = last.next;}head = last.next; // head 在前面走，last 在后面跟著}return head;}/*** 循環報數，報到 m 的人自殺*/public static Node josephusKill2(Node head, int m) {if (head == null || head.next == head || m < 1) {return head;}Node cur = head.next;int tmp = 1; // tmp -> list sizewhile (cur != head) {tmp++;cur = cur.next;}tmp = getLive(tmp, m); // tmp -> service node positionwhile (--tmp != 0) {head = head.next;}head.next = head;return head;}/*** 計算最終剩余的節點編號* 注：根據數學推理，殺死節點之前的老編號=（殺死節點之后的新編號+m-1）%i+1* @param i 圈中剩余節點數量* @param m 報數為 m 的自殺* @return 最終生存的節點*/public static int getLive(int i, int m) {if (i == 1) {return 1;}return (getLive(i - 1, m) + m - 1) % i + 1;}public static void printCircularList(Node head) {if (head == null) {return;}System.out.print("Circular List: " + head.value + " ");Node cur = head.next;while (cur != head) {System.out.print(cur.value + " ");cur = cur.next;}System.out.println("-> " + head.value);}public static void main(String[] args) {Node head1 = new Node(1);head1.next = new Node(2);head1.next.next = new Node(3);head1.next.next.next = new Node(4);head1.next.next.next.next = new Node(5);head1.next.next.next.next.next = head1;printCircularList(head1);head1 = josephusKill1(head1, 3);printCircularList(head1);Node head2 = new Node(1);head2.next = new Node(2);head2.next.next = new Node(3);head2.next.next.next = new Node(4);head2.next.next.next.next = new Node(5);head2.next.next.next.next.next = head2;printCircularList(head2);head2 = josephusKill2(head2, 3);printCircularList(head2);} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的左神算法：环形单链表的约瑟夫问题（Java版）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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