本題來自左神《程序員面試代碼指南》“環(huán)形單鏈表的約瑟夫問題”題目。

題目

據(jù)說，著名猶太歷史學(xué)家 Josephus 有過以下故事：

在羅馬人占領(lǐng)喬塔帕特后，39 個(gè)猶太人與Josephus 及他的朋友躲到一個(gè)洞中，39 個(gè)猶太人決定寧愿死也不要被敵人抓到，于是決定了一種自殺方式，41 個(gè)人排成一個(gè)圓圈，由第 1 個(gè)人開始報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)到 3 的人就自殺，然后再由下一個(gè)人重新報(bào) 1，報(bào)數(shù)到 3 的人再自殺，這樣依次下去，直到剩下最后一個(gè)人時(shí)，那個(gè)人可以自由選擇自己的命運(yùn)。這就是著名的約瑟夫問題。現(xiàn)在請用單向環(huán)形鏈表描述該結(jié)構(gòu)并呈現(xiàn)整個(gè)自殺過程。

輸入：一個(gè)環(huán)形單向鏈表的頭節(jié)點(diǎn) head 和報(bào)數(shù)的值 m。

返回：最后生存下來的節(jié)點(diǎn)，且這個(gè)節(jié)點(diǎn)自己組成環(huán)形單向鏈表，其他節(jié)點(diǎn)都刪掉。

進(jìn)階問題：如果鏈表節(jié)點(diǎn)數(shù)為 N，想在時(shí)間復(fù)雜度為 O(N)時(shí)完成原問題的要求，該怎么實(shí)現(xiàn)？

題解

普通解法

普通的解法就像題目描述的過程一樣，具體實(shí)現(xiàn)請參看如下代碼中的 josephusKill1 方法。

1．如果鏈表為空或者鏈表節(jié)點(diǎn)數(shù)為 1，或者 m 的值小于 1，則不用調(diào)整就直接返回。
2．在環(huán)形鏈表中遍歷每個(gè)節(jié)點(diǎn)，不斷轉(zhuǎn)圈，不斷讓每個(gè)節(jié)點(diǎn)報(bào)數(shù)。
3．當(dāng)報(bào)數(shù)到達(dá) m 時(shí)，就刪除當(dāng)前報(bào)數(shù)的節(jié)點(diǎn)。
4．刪除節(jié)點(diǎn)后，別忘了還要把剩下的節(jié)點(diǎn)繼續(xù)連成環(huán)狀，繼續(xù)轉(zhuǎn)圈報(bào)數(shù)，繼續(xù)刪除。
5．不停地刪除，直到環(huán)形鏈表中只剩一個(gè)節(jié)點(diǎn)，過程結(jié)束。

/*** 循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)到 m 的人自殺*/ public static Node josephusKill1(Node head, int m) {if (head == null || head.next == head || m < 1) {return head;}Node last = head;while (last.next != head) {last = last.next;}int count = 0;while (head != last) { // 直到僅剩一個(gè)為止if (++count == m) { // 正好數(shù)到 mlast.next = head.next; // 刪除 head 所指向的節(jié)點(diǎn)count = 0; // 歸零，下一個(gè)重新計(jì)數(shù)} else { // 繼續(xù)往后數(shù)last = last.next;}head = last.next; // head 在前面走，last 在后面跟著}return head; }

普通的解法在實(shí)現(xiàn)上不難，就是考查面試者基本的代碼實(shí)現(xiàn)技巧，做到不出錯(cuò)即可。

很明顯的是，每刪除一個(gè)節(jié)點(diǎn)，都需要遍歷 m 次，一共需要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)數(shù)為 n-1，所以普通解法的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n×m)，這明顯是不符合進(jìn)階要求的。

下面介紹進(jìn)階的解法。

進(jìn)階解法

原問題之所以花費(fèi)的時(shí)間多，是因?yàn)槲覀円婚_始不知道到底哪一個(gè)節(jié)點(diǎn)最后會(huì)活下來。所以依靠不斷地刪除來淘汰節(jié)點(diǎn)，當(dāng)只剩下一個(gè)節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，才知道是這個(gè)節(jié)點(diǎn)。如果不通過一直刪除方式，有沒有辦法直接確定最后活下來的節(jié)點(diǎn)是哪一個(gè)呢？這就是進(jìn)階解法的實(shí)質(zhì)。

舉個(gè)例子，環(huán)形鏈表為：1->2->3->4->5->1，這個(gè)鏈表節(jié)點(diǎn)數(shù)為 n=5，m=3。通過不斷刪除的方式，最后節(jié)點(diǎn) 4 會(huì)活下來。但我們可以不用一直刪除的方式，而是用進(jìn)階的方法，根據(jù) n 與 m 的值，直接算出是第 4 個(gè)節(jié)點(diǎn)最終會(huì)活下來，接下來找到節(jié)點(diǎn) 4 即可。

到底怎么直接算出來呢？首先，如果環(huán)形鏈表節(jié)點(diǎn)數(shù)為 n，我們做如下定義：從這個(gè)環(huán)形鏈表的頭節(jié)點(diǎn)開始編號，頭節(jié)點(diǎn)編號為 1，頭節(jié)點(diǎn)的下一個(gè)節(jié)點(diǎn)編號為 2，……，最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)編號為 n。然后考慮如下問題：

最后只剩下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這個(gè)幸存節(jié)點(diǎn)在只由自己組成的環(huán)中編號為 1，記為 Num(1) = 1；
在由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的環(huán)中，這個(gè)幸存節(jié)點(diǎn)的編號是多少呢？假設(shè)編號是 Num(2)；
……
在由 i-1 個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的環(huán)中，這個(gè)幸存節(jié)點(diǎn)的編號是多少呢？假設(shè)編號是 Num(i-1)；
在由 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的環(huán)中，這個(gè)幸存節(jié)點(diǎn)的編號是多少呢？假設(shè)編號是 Num(i)；
……

在由 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的環(huán)中，這個(gè)幸存節(jié)點(diǎn)的編號是多少呢？假設(shè)編號是 Num(n)。
我們已經(jīng)知道 Num(1) = 1，如果再確定 Num(i-1)和 Num(i)到底是什么關(guān)系，就可以逐漸求出 Num(n)了。下面是求解的過程。
首先來認(rèn)識(shí)一個(gè)非常簡單的函數(shù) f(x)=x%i 的圖像，如圖 2-1 所示。

報(bào)數(shù)和編號之間的關(guān)系

假設(shè)現(xiàn)在圈中一共有 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)，從頭節(jié)點(diǎn)開始報(bào)數(shù)，報(bào) 1 的是編號 1 的節(jié)點(diǎn)，報(bào) 2 的是編號 2 的節(jié)點(diǎn)，那么報(bào)數(shù)和編號的關(guān)系如下。

舉個(gè)例子，環(huán)形鏈表有 3 個(gè)節(jié)點(diǎn)，報(bào) 1 的是編號 1，報(bào) 2 的是編號 2，報(bào) 3 的是編號 3，報(bào)
4 的是編號 1，報(bào) 5 的是編號 2，報(bào) 6 的是編號 3，報(bào) 7 的是編號 1……
報(bào)數(shù)和編號的關(guān)系圖如圖 2-2 所示。




1．遍歷鏈表，求鏈表的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)記為 n，時(shí)間復(fù)雜度為 O(N)。
2．根據(jù) n 和 m 的值，還有上文分析的 Num(i-1)（新編號）和 Num(i)（老編號）的關(guān)系，依次求生存節(jié)點(diǎn)的編號。這一步的具體過程請參看如下代碼中的 getLive 方法，getLive 方法為單決策的遞歸函數(shù)，且遞歸為 N 層，所以時(shí)間復(fù)雜度為 O(N)。
3．最后根據(jù)生存節(jié)點(diǎn)的編號，遍歷鏈表找到該節(jié)點(diǎn)，時(shí)間復(fù)雜度為 O(N)。
4．整個(gè)過程結(jié)束，總的時(shí)間復(fù)雜度為 O(N)。

進(jìn)階解法的全部過程請參看如下代碼中的 josephusKill2 方法。

代碼

package chapter_2_listproblem;public class Problem_06_JosephusProblem {public static class Node {public int value;public Node next;public Node(int data) {this.value = data;}}/*** 循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)到 m 的人自殺*/public static Node josephusKill1(Node head, int m) {if (head == null || head.next == head || m < 1) {return head;}Node last = head;while (last.next != head) {last = last.next;}int count = 0;while (head != last) { // 直到僅剩一個(gè)為止if (++count == m) { // 正好數(shù)到 mlast.next = head.next; // 刪除 head 所指向的節(jié)點(diǎn)count = 0; // 歸零，下一個(gè)重新計(jì)數(shù)} else { // 繼續(xù)往后數(shù)last = last.next;}head = last.next; // head 在前面走，last 在后面跟著}return head;}/*** 循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)到 m 的人自殺*/public static Node josephusKill2(Node head, int m) {if (head == null || head.next == head || m < 1) {return head;}Node cur = head.next;int tmp = 1; // tmp -> list sizewhile (cur != head) {tmp++;cur = cur.next;}tmp = getLive(tmp, m); // tmp -> service node positionwhile (--tmp != 0) {head = head.next;}head.next = head;return head;}/*** 計(jì)算最終剩余的節(jié)點(diǎn)編號* 注：根據(jù)數(shù)學(xué)推理，殺死節(jié)點(diǎn)之前的老編號=（殺死節(jié)點(diǎn)之后的新編號+m-1）%i+1* @param i 圈中剩余節(jié)點(diǎn)數(shù)量* @param m 報(bào)數(shù)為 m 的自殺* @return 最終生存的節(jié)點(diǎn)*/public static int getLive(int i, int m) {if (i == 1) {return 1;}return (getLive(i - 1, m) + m - 1) % i + 1;}public static void printCircularList(Node head) {if (head == null) {return;}System.out.print("Circular List: " + head.value + " ");Node cur = head.next;while (cur != head) {System.out.print(cur.value + " ");cur = cur.next;}System.out.println("-> " + head.value);}public static void main(String[] args) {Node head1 = new Node(1);head1.next = new Node(2);head1.next.next = new Node(3);head1.next.next.next = new Node(4);head1.next.next.next.next = new Node(5);head1.next.next.next.next.next = head1;printCircularList(head1);head1 = josephusKill1(head1, 3);printCircularList(head1);Node head2 = new Node(1);head2.next = new Node(2);head2.next.next = new Node(3);head2.next.next.next = new Node(4);head2.next.next.next.next = new Node(5);head2.next.next.next.next.next = head2;printCircularList(head2);head2 = josephusKill2(head2, 3);printCircularList(head2);} }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的左神算法：环形单链表的约瑟夫问题（Java版）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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