楊氏矩陣又叫楊氏圖表，它是這樣一個矩陣，滿足條件：

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(1)如果格子(i,j)沒有元素，則它右邊和上邊的相鄰格子也一定沒有元素。

(2)如果格子(i,j)有元素a[i][j]，則它右邊和上邊的相鄰格子要么沒有元素，要么有元素且比a[i][j]大。

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1 ~ n所組成楊氏矩陣的個數可以通過下面的遞推式得到：

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如圖就是n=3時的楊氏矩陣。

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下面介紹一個公式，那就是著名的鉤子公式。

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對于給定形狀，不同的楊氏矩陣的個數為：n！除以每個格子的鉤子長度加1的積。其中鉤子長度定義為該格子

右邊的格子數和它上邊的格子數之和。

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題目：http://poj.org/problem?id=1825

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介紹完了鉤子公式，那么我們可以來做一道基礎題了。

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題目：給四行，第一行放5個數字，第二行放三個數字，第三行放3個數字，第四行放1個數字，都是左對齊的排列，

? ? ?現有1~12共12個數字，要求放到這四行中，從上到下，從左到右都是按小到大排列，問你共有幾種排法？

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這個問題直接利用鉤子公式解決即可。

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楊氏矩陣既可以用來當堆，又可以當成平衡樹。通常楊氏矩陣會涉及到兩個問題：

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(1)在楊氏矩陣中查找值為x的元素????? (2)在楊氏矩陣中找第K大的元素

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對于第一個問題，其實有兩種方法，第一種方法就是二分查找法，這種方法的時間效率不是很好。第二種方法就是類

堆查找法。方法是這樣的：從矩陣的右上角出發，對于元素a[i][j]，如果a[i][j]==x，則找到元素x，直接返

回； 如果a[i][j]> x，則向下移動，即繼續比較a[i+1][j]與x；如果a[i][j] < x，則向左移動，即繼續比

較a[i][j-1]與x。該算法的時間復雜度是O(m+n)。

bool Find(int a[][N],int n,int m,int x) {assert(a != NULL && n > 0 && m > 0);int row = 0;int col = m - 1;while(row <= n - 1 && col >= 0){if(a[row][col] == x) return true;else if(a[row][col] > x) col--;else row++;}return false; }

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對于第二個問題，首先，二分枚舉找到一個數x，它比楊氏矩陣中k個數大；然后，利用類堆查找法找到剛好小于x的

元素。該算法的時間復雜度為O((m+n)log(mn))，但不需要額外存儲空間。

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int get_order(int a[][N],int n,int m,int k) {int row = 0;int col = m - 1;int order = 0;while(row <= n - 1 && col >= 0){if(a[row][col] < k){order += col + 1;row++;}else col--;}return order; }int Find_Kth_Num(int a[][N],int n,int m,int k) {int low = a[0][0];int high = a[n-1][m-1];int order = 0;int mid = 0;do{mid = (low + high) >> 1;order = get_order(a,n,m,mid);if(order == k) break;else if(order > k) high = mid - 1;else low = mid + 1;}while(1);int row = 0;int col = m - 1;int ret = mid;while(row <= n - 1 && col >= 0){if(a[row][col] < mid){ret = max(ret,a[row][col]);row++;}else col--;}return ret; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的杨氏矩阵与钩子公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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