MATLAB 符號數學工具箱

入門

創建符號數字，變量和表達式

創建符號數字

創建符號變量

創建符號表達式

重復使用符號對象名

創建符號函數

創建符號矩陣

使用存在的符號變量

創建矩陣的同時生成元素

創建元素為符號數字的矩陣

符號計算

符號表達式的微分

符號表達式的積分

解方程

化簡符號表達式

符號表達式中的替換

繪制符號函數

入門

創建符號數字，變量和表達式

下面將展示如何創建符號數字，變量和表達式。

創建符號數字

你可以使用sym創建符號數字。符號數字用精確的有理數表示。

通過sym創建符號數字并與相同的浮點數對比

sym(1/3)

1/3

ans =

1/3

ans =

0.333

符號結果不縮進，數值結果縮進。

符號計算的結果是精確的，而數值計算的結果是近似的。

sin(sym(pi))

sin(pi)

ans =

0

ans =

1.2246e-16

創建符號變量

你有兩種方法創建符號變量，分別是syms和sym。syms是sym的簡寫。

分別使用syms和sym創建符號變量x和y

syms x

y = sym('y')

第一條命令創建了一個值為x的符號變量x。第二條命令創建了一個值為y的符號變量y。

你可以使用syms在一條命令中創建多個變量

syms a b c

你也可以使用sym在一條命令中創建多個變量

A = sym('a', [1 20])

A =

[a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10,...

a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, a18, a19, a20]

當你所創建的符號變量的變量名和變量值不相同時，或者要創建符號數字時，則要使用sym。

創建符號表達式

黃金比例

1 + 5 2 \frac{1+\sqrt{5}}{2}21+5??

使用下面這條命令即可用符號變量表示黃金比例

phi = (1 + sqrt(sym(5)))/2;

你可以對phi執行各種數學運算。例如

f = phi^2 - phi - 1

f =

(5^(1/2)/2 + 1/2)^2 - 5^(1/2)/2 - 3/2

要創建符號表達式f = phi^2 - phi - 1，首先要創建符號變量a, b, c, 和 x:

syms a b c x

然后把表達式賦給f:

f = a*x^2 + b*x + c;

重復使用符號對象名

如果你設置了一個變量等于一個符號表達式，例如

syms a b

f = a + b

f =

a + b

接著輸入

syms f

f =

f

MATLAB則會清除符號表達式f的值a + b。

所以你可以使用syms命令清除原先賦給變量的值。

創建符號函數

使用syms創建自變量為x和y的函數f。創建符號函數f的同時會自動創建符號變量x和y

syms f(x,y)

把一個數學表達式賦給f

f(x,y) = x^2*y

f(x, y) =

x^2*y

找到函數f在點(3,2)的值

f(3,2)

ans =

18

符號函數同時也接受數組作為輸入

xVal = 1:5;

yVal = 3:7;

f(xVal,yVal)

ans =

[ 3, 16, 45, 96, 175]

你可以對符號函數進行微分，積分，化簡，用自變量本身作為輸入值，和其他數學運算。例如函數f對x求導

dfx = diff(f, x)

dfx(x,y) =

2*x*y

dfx也是一個符號函數

計算df(x,y)在點x = y + 1處的值

df(y+1,y)

ans =

2*y*(y + 1)

如果你想創建常函數，比如f(x,y) = 1，你可以首先創建f(x,y)，然后再進行賦值

syms f(x,y)

f(x,y) = 1

f(x, y) =

1

如果不先創建符號函數f(x,y) 就直接進行賦值 f(x,y) = 1，則會拋出錯誤。

創建符號矩陣

使用存在的符號變量

創建一個其元素為a, b, c的循環矩陣

syms a b c

A = [a b c; c a b; b c a]

A =

[ a, b, c]

[ c, a, b]

[ b, c, a]

計算矩陣第一行元素的和

sum(A(1, : ))

ans =

a + b + c

使用isAlways函數，驗證第一行元素之和等于第二列元素之和

isAlways(sum(A(1, : )) == sum(A( : , 2)))

ans =

logical

1

創建矩陣的同時生成元素

sym函數使你在創建符號矩陣或向量時無需提前定義元素。sym函數在創建符號矩陣的元素的同時創建矩陣。創建一個元

素為A1_1, …, A2_4的2×4符號矩陣:

A = sym('A', [2 4])

A =

[ A1_1, A1_2, A1_3, A1_4]

[ A2_1, A2_2, A2_3, A2_4]

可以在第一個參數中使用%d來控制矩陣元素的名字格式:

A = sym('A%d%d', [2 4])

A =

[ A11, A12, A13, A14]

[ A21, A22, A23, A24]

創建元素為符號數字的矩陣

sym函數的一個特別有用的功能是把數值矩陣轉換為符號矩陣。

產生一個3×3希爾伯特矩陣

A = hilb(3)

A =

1.0000 0.5000 0.3333

0.5000 0.3333 0.2500

0.3333 0.2500 0.2000

函數sym作用于A后，可得到一個精確的3×3希爾伯特符號矩陣

A = sym(A)

A =

[ 1, 1/2, 1/3]

[ 1/2, 1/3, 1/4]

[ 1/3, 1/4, 1/5]

符號計算

符號表達式的微分

1. 單變量表達式求導

使用函數diff對符號表達式求導:

syms x

f = sin(x)^2;

diff(f)

ans =

2*cos(x)*sin(x)

2. 偏導數

對于多變量符號表達式，你可以指定對哪個變量進行求導。如果你沒有指定任何變量，MATLAB將選

擇距離字母x最近的變量進行求導:

syms x y

f = sin(x)^2 + cos(y)^2;

ans =

2*cos(x)*sin(x)

符號表達式f對變量y的偏導數:

syms x y

f = sin(x)^2 + cos(y)^2;

diff(f, y)

ans =

-2*cos(y)*sin(y)

3. 二階偏導數和混合求導

符號表達式f對變量y的二階偏導數:

syms x y

f = sin(x)^2 + cos(y)^2

diff(f, y, 2)

ans =

2*sin(y)^2 - 2*cos(y)^2

執行 diff(diff(f, y)) 可以得到相同的結果。

混合求導:

syms x y

f = sin(x)^2 + cos(y)^2;

diff(diff(f, y), x)

ans =

0

符號表達式的積分

1. 單變量符號表達式的不定積分

syms x

f = sin(x)^2;

int(f)

ans =

x/2 - sin(2*x)/4

2. 多變量符號表達式的不定積分

syms x y n

f = x^n + y^n;

int(f)

ans =

x*y^n + (x*x^n)/(n + 1)

符號表達式f也可以對變量y進行積分:

syms x y n

f = x^n + y^n;

int(f, y)

ans =

x^n*y + (y*y^n)/(n + 1)

同理，f對變量n進行積分

syms x y n

f = x^n + y^n;

int(f, n)

ans =

x^n/log(x) + y^n/log(y)

3. 定積分

函數int的最后兩個參數用于指定積分上下限(倒數第二個參數指定積分下限，最后一個參數指定積分

上限)

syms x y n

f = x^n + y^n;

int(f, 1, 10)

ans =

piecewise(n == -1, log(10) + 9/y, n ~= -1,...

(10*10^n - 1)/(n + 1) + 9*y^n)

3. 如果MATLAB無法找到積分的閉合形式

如果函數int無法計算出積分，它將返回一個未經處理的積分

syms x

int(sin(sinh(x)))

ans =

int(sin(sinh(x)), x)

解方程

1. 解一元方程

用 == 定義一個方程

syms x

solve(x^3 - 6*x^2 == 6 - 11*x)

ans =

1

2

3

如果不指定方程右半部分，函數solve將假定它為0:

syms x

solve(x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6)

ans =

1

2

3

2. 解包含多個元的方程

syms x y

solve(6*x^2 - 6*x^2*y + x*y^2 - x*y + y^3 - y^2 == 0, y)

ans =

1

2*x

-3*x

如果你不指定任何變量，MATLAB將選擇距離字母x最近的變量。

3. 解方程組

syms x y z

[x, y, z] = solve(z == 4*x, x == y, z == x^2 + y^2)

x =

0

2

y =

0

2

z =

0

8

化簡符號表達式

符號數學工具箱提供了一套化簡函數供你去操作符號表達式。

phi = (1 + sqrt(sym(5)))/2;

f = phi^2 - phi - 1

f =

(5^(1/2)/2 + 1/2)^2 - 5^(1/2)/2 - 3/2

你可以通過函數simplify化簡這個答案

simplify(f)

ans =

0

注：本小節未完待續

符號表達式中的替換

注：本小節未完待續

繪制符號函數

符號數學工具箱提供的繪圖函數:

- fplot用來在二維笛卡爾坐標系上繪制符號表達式，方程或者函數。

- fplot3用來繪制3D圖形

- fsurf用來繪制曲面圖

1. 繪制顯函數

使用fplot在二維坐標系上繪制表達式x3-6x2+11x-6

syms x

f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;

fplot(f)

給x軸和y軸添加標簽。使用texlabel(f)生成標題。使用grid on顯示網格。

xlabel('x')

ylabel('y')

title(texlabel(f))

grid on

2. 繪制隱函數

使用fimplicit繪制方程和隱函數。

繪制方程(x2+y2)4=(x2-y2)2，其中-1syms x y

eqn = (x^2 + y^2)^4 == (x^2 - y^2)^2;

fimplicit(eqn, [-1 1])

3. 3D繪制

使用fplot3繪制3D參數線。

繪制參數線

x = t2sin(10t)

y = t2cos(10t)

z = t

syms t

fplot3(t^2*sin(10*t), t^2*cos(10*t), t)

4. 繪制曲面圖

使用fsurf繪制3D曲面圖。

繪制拋物面z = x2 + y2。

syms x y

fsurf(x^2 + y^2)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab绘制sign函数,MATLAB的Symbolic Math Toolbox详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。