2020-03-23

傅立葉級數是將周期函數表示成由多個 (或無窮多個) 不同頻率的正弦函數和余弦函數的線性組合，這些不同的頻率是不連續的，例如傅立葉級數：

，

其 sin 內的 x, 3x, 5x 是不連續的。而傅立葉積分是將傅立葉級數延伸到非周期函數，但這些不同的頻率是連續的，例如：若 f(x) 的傅立葉積分=

，其 cos 內的 wx 是連續的 (因 w 積分從 0 積到 ∞)。至于傅立葉變換是將函數變換成另一種形式，以方便某些領域的計算。接下來，我們將傅立葉級數及變換分成十個章節來探討。

周期函數

(1). 若函數 f(x) 的定義域為實數集合 R 且存在一正數 T，使得 f(x+T)=f(x)，x∈R，則稱 f(x) 為周期函數，且此正的數值 T 稱為 f(x) 的周期。

(2). 若 f(x) 和 g(x) 的周期均為 T，則 h(x)=af(x)±bg(x) 亦為周期 T 的函數。

(3). 若 f(x) 的周期為 T，則 f(kx) 的周期為：

。

(4). 若 f(x) 的周期為 mT，g(x) 的周期為 nT，則 h(x)=af(x)±bg(x) 的周期為 m, n 的最小公倍數乘以 T。(若 m, n 為分數，則先通分后再取分子的最小公倍數)

(5). 常數函數 f(x)=c，亦為周期函數，其周期為任意數。

(6). 級數

，其中

均為常數，則此級數稱為三角級數，而 稱為此級數的系數。

(7). 三角級數的周期為 2π。

(ex.47) 求 sin(2x)+cos(3x) 的周期。

Sol：

(1) . sin(2x) 的周期為

(2) . cos(3x) 的周期為

，而 ，兩周期的分子 3 和 2 的最小公倍數是 6，所以 sin(2x)+cos(3x) 的周期為

周期為 2π 的傅立葉級數

(1). 若函數 f(x) 是周期為 2π 的周期函數，則其可以用下面的三角級數表示：

(2). 在上式中，若 f(x) 已知，則

可由下法求得：

，n=1, 2, 3…

，n=1, 2, 3…

pf：略

(3). 用法：要求周期為 2π 的周期函數 f(x) 的傅立葉級數時，

(a). 抄下

。

(b). 抄下

。

(c). 將題目的 f(x) 代入 (b) 式。

(d). 將 (b) 式積分出來，求出

。

(e). 重復 (b)~(d) 式，算出

。

(f). 最后將

代入 (a) 式。

(g).

求出前三項之值 (n=1, 2, 3 代入)，找出其規律。

(4). 若

，則右式稱為 f(x) 的傅立葉級數，而 稱為 f(x) 的傅立葉系數。

(ex.48) 求 f(x) 的周期為 2π，且

，求 f(x) 的傅立葉級數。

Sol：由傅立葉級數公式知

(1).

(2).

(3).

偶函數與奇函數的傅立葉級數

此節的目的是要簡化計算傅立葉系數的過程。

(1). 若函數 f(x) 滿足 f(-x)=f(x)，則 f(x) 稱為偶函數，例如：

等，或圖形沿 y 軸對折，左右兩邊圖形會重疊在一起，如下圖：

(2). 若函數 g(x) 滿足 g(-x)=-g(x)，則 g(x) 稱為奇函數，例如：

等，或圖形沿 y 軸對折，再沿 x 軸對折，右上圖形與左下圖形會重疊在一起，如下圖：

(3). 偶函數與偶函數的乘積為偶函數，例如：

為偶函數；偶函數與奇函數的乘積為奇函數，例如： 為奇函數；奇函數與奇函數的乘積為偶函數，例如： 為偶函數。

(4). 偶函數積分積一個周期等于積半個周期的 2 倍，即若函數 f(x) 是周期為 2π 的偶函數，

。

(5). 奇函數積分積一個周期的值為 0，即若函數 g(x) 是周期為 2π 的奇函數，則

。

(6). 若函數 f(x) 是周期為 2π 的周期函數，且為偶函數，則 f(x) 和 f(x)cosnx 為偶函數，f(x)sinnx 為奇函數，所以 f(x) 的傅立葉級數為：

，

其中，

， ， 。

(7). 若函數 f(x) 是周期為 2π 的周期函數，且為奇函數，則 f(x) 和 f(x)cosnx 為奇函數，f(x)sinnx 為偶函數，所以 f(x) 的傅立葉級數為：

，

其中，

，

(ex.49) f(x) 的周期為 2π，且

，求 f(x) 的傅立葉級數。

Sol：f(x) 可改寫成

因為它是偶函數，所以

(1).

(2).

(3).

(4).

任意周期函數之傅立葉級數

(1). 周期為 2L 的周期函數 f(t) (注：L 為半周期)，其傅立葉級數為：

，其中，

， ，

Pf：略

說明：周期為 2L 的傅立葉級數，只要將周期為 2π 的傅立葉級數作下列二項修改，

(a). 將公式的所有 π 改成 L；

(b). 將 sin 和 cos 內的 x 改成

。

(2). 周期為 2L 的偶函數 f(x)，其傅立葉級數為：

，

其中，

， 。

(3). 周期為 2L 的奇函數 f(x)，其傅立葉級數為：

，

其中，

。

(ex.50) 周期為 4 的 f(x)，且

，求 f(x) 的傅立葉級數。

Sol：週期 2L=4

，所以

(1).

(2).

(3).

(4).

(5). 所以

半周期函數 (或稱半周期展開)

(1). 若給定一半週期函數，如週期是 2L 的函數，f(x) 只在 [0, L] 內有定義，現要將函數f(x)的定義擴展到 (-∞, ∞)，其擴展的方式有二種：

(a). 偶函數擴展：即先擴展到 [-L, L] 一周期的偶函數，再擴展到 (-∞, ∞)。

(b). 奇函數擴展：即先擴展到 [-L, L] 一周期的偶函數，再擴展到 (-∞, ∞)。

函數本來定義在 [0, L] 半周期內，經以上的擴展方式，周期均變為 2L，稱為"半周期展開"。

(2). 要求半周期展開的傅立葉級數時，可以使用上節「任意周期函數之傅立葉級數」方法求得，及若是偶函數擴展或奇函數擴展，則代偶函數或奇函數的傅立葉級數公式。

(ex.51) 求下列函數的偶函數和奇函數半周期展開，且

。

Sol：半周期 L=2

(1). 展開成一周期偶函數

(a). 偶函數擴展：

(b).

(c).

(d). n=1, 2, 3, …代入，得

、 、 、 、 、 ，….

(e). 所以

(2). 展開成一周期奇函數

(a). 奇函數擴展：

(b).

(c). n=1, 2, 3, …代入，得

、 、 、 、 、 ，….

(d). 所以

復數傅立葉級數

(1). 也可以用復數方法來求傅立葉級數，其與用前面的方法求出來的答案相同。

(2). 函數 f(x) 是周期為 2π 的函數，其復數傅立葉級數為

，其中，

，n=0, ±1, ±2, …

(3). 要求復數傅立葉級數時，

(a). 抄下

。

(b). 抄下

。

(c). 將題目的 f(x) 代入 (b) 式。

(d). 將 (b) 式積分出來。

(e). 求出

中的第 -k 項 (即 和第 k 項 (即 ，再將此二項相加起來，以消去虛數部分。

(f). 求出

的第 0 項 (即 )。

(g).

，答案與用前面方法求出答案相同。

注：

(i). 若題目要求「復數傅立葉級數」，只要做到 (d) 步驟，再將

代回 (a) 式即可；

(ii). 若題目要求「傅立葉級數」，則還要往下做以消去虛數 i，其結果與用前面方法求出答案相同。

(4). 函數 f(x) 是周期為 2L 的函數，其復數傅立葉級數為：

，其中，

，n=0, ±1, ±2, …

說明：周期為 2L 的復數傅立葉級數只要將周期為 2π 的復數傅立葉級數作下列二項修改：

(a). 將公式的所有 π 改成 L；

(b). 將 e 的指數 x 改成

。

(ex.52) 若 f(x) 的周期為 2π，且

，用復數方法求 f(x) 的傅立葉級數。

Sol：

(1).

。

(2).

。

(注：

，因 n 是整數，所以 sin(-nπ)=0)

(3). (a). n=-k 代入

(b). n=k 代入

(c). (a)+(b)

(4). n=0 代入

(5).

(答案與「周期為 2π 的傅立葉級數」中 (ex.48) 相同。)

傅立葉積分

(1). 若函數 f(x) 為非周期性函數或考慮整個 x 軸時，就要使用傅立葉積分。

(2). f(x) 的傅立葉積分為：

，其中， 、

(3). 若 f(x) 是偶函數，則 B(w)=0；若 f(x) 是奇函數，則 A(w)=0。

(ex.53) 若

，求其傅立葉級數。

Sol：

所以 f(x) 的傅立葉積分

傅立葉余弦與正弦變換

(1). fc(w) 稱為 f(x) 的“傅立葉余弦變換” (其中，c 表示 cos)，

(2). f(x) 稱為 f(x) 的“反傅立葉余弦變換”，

(3). fs(w) 稱為 f(x) 的“傅立葉正弦變換” (其中，s 表示 sin)，

(4). f(x) 稱為 f(x) 的“反傅立葉正弦變換” (其中，c 表示 cos)，

(5). 它們在某些應用中仍然是首選，例如信號處理或統計。

(ex.54) 若

，求其 (1).傅立葉余弦級數；(2).傅立葉正弦級數。

Sol：

(1). 傅立葉余弦轉換，

(2). 傅立葉正弦轉換，

離散傅立葉變換

(1). 在數字影像處理或通信系統的應用中，所處理的數據都是離散 (非連續) 數值。

(2). 令 f(x) 是周期為 2π 的周期函數 (0≦x≦2π)，對 f(x) 做 N 次相同“間隔點”(是離散數值)的量測，即間隔點為

，k=1, 2, …., N-1，量測到的值是

注：

符號上面有箭頭，表示其為向量。

(3). 則 f(x) 的離散傅立葉變換

，即

=

其中，

(a).

為 NxN 傅立葉矩陣。

(b).

的 a?b 是矩陣行與列位置的相乘，因 為 NxN 矩陣，有時候 會寫成

(c).

。

(d).

(ex.55) 令 N=4 次量測 (取樣值)，量到的值為

，此離散傅立葉變換為何？

Sol：

＝ = =

快速傅立葉變換

(1). 離散傅立葉變換的矩陣 NxN，若取樣點有 1,000 點，其計算時間會很常，此時可以用快速傅立葉變換 (Fast Fourier Transform, FTF) 來解題。

(2). 快速傅立葉變換是將 N 分成 2 組，即 N=2M 來解。

(3). 將原向量

分解成二個包含 M 個分量的向量，及包含所有的偶數分量 ，和包含所有的奇數分量

(注：有頂線的 f 表一向量，而無頂線的 f 表一純量。)

(4). 分別對

和 計算其離散傅立葉變換，可利用下列公式求得：

---(A)

---(B)

(注：上面兩個

是相同的。)

(5). 由 (A)、(B) 我們可以得到某一組量測點 f 的離散傅立葉變換，即為：

(ex.56) 令 N=4 次量測 (取樣值)，量到的值為

，此離散傅立葉變換為何？

Sol：因 N=4，所以

，而 ，(M=2)，

=

，(N=4)，

由 (A) 式得

由 (B) 式得

由 (C) 式得

由 (D) 式得

Ref.:

李狗嗨：如何給文科生解釋傅里葉變換？?zhuanlan.zhihu.com分類：文章 >>數學 >>高等

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab画出周期为2的方波图形 傅立叶级数_高等数学系列R之四：傅立叶级数及变换...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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