常微分方程和常微分方程組的求解

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一、實驗目的：

熟悉Matlab軟件中關于求解常微分方程和常微分方程組的各種命令，掌握利用Matlab軟件進行常微分方程和常微分方程組的求解。

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二、相關知識

在MATLAB中，由函數dsolve()解決常微分方程(組)的求解問題，其具體格式如下：

X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)

函數dsolve用來解符號常微分方程、方程組，如果沒有初始條件，則求出通解，如果有初始條件，則求出特解。

例1：求解常微分方程的MATLAB程序為：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，注意，系統缺省的自變量為t，因此這里要把自變量寫明。

結果為：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1

其中：Y=lambertw(X)表示函數關系Y*exp(Y)=X。

例2：求解常微分方程的MATLAB程序為：Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’)

結果為：

Y2 =[ exp((x+C2)/C1)]

[ C2]

我們看到有兩個解，其中一個是常數。

例3：求常微分方程組通解的MATLAB程序為：

[X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')

例4：求常微分方程組通解的MATLAB程序為：

[X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')

以上這些都是常微分方程的精確解法，也稱為常微分方程的符號解。但是，我們知道，有大量的常微分方程雖然從理論上講，其解是存在的，但我們卻無法求出其解析解，此時，我們需要尋求方程的數值解，在求常微分方程數值解方面，MATLAB具有豐富的函數，我們將其統稱為solver，其一般格式為：

[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)

該函數表示在區間tspan=[t0,tf]上，用初始條件y0求解顯式常微分方程。

solver為命令ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb之一，這些命令各有特點。我們列表說明如下：

求解器

ODE類型

特點

說明

ode45

非剛性

一步算法，4,5階Runge-Kutta

方法累積截斷誤差

大部分場合的首選算法

ode23

非剛性

一步算法，2,3階Runge-Kutta

方法累積截斷誤差

使用于精度較低的情形

ode113

非剛性

多步法，Adams算法，高低精度均可達到

計算時間比ode45短

ode23t

適度剛性

采用梯形算法

適度剛性情形

ode15s

剛性

多步法，Gear’s反向

數值積分，精度中等

若ode45失效時，

可嘗試使用

ode23s

剛性

一步法，2階Rosebrock算法，

低精度。

當精度較低時，

計算時間比ode15s短

odefun為顯式常微分方程中的

tspan為求解區間，要獲得問題在其他指定點上的解，則令(要求單調)，

y0初始條件。

例5：求解常微分方程，，的MATLAB程序如下：fun=inline('-2*y+2*x*x+2*x')；[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1)

結果為：

x = 0,0.0400,0.0900,0.1400,0.1900,0.2400,0.2900,0.3400,0.3900,0.4400,0.4900,0.5000

y = 1.0000,0.9247,0.8434,0.7754,0.7199,0.6764,0.6440,0.6222,0.6105,0.6084,0.6154,0.6179

例6：求解常微分方程的解，并畫出解的圖形。

分析：這是一個二階非線性方程，用現成的方法均不能求解，但我們可以通過下面的變換，將二階方程化為一階方程組，即可求解。

令：，，，則得到：

接著，編寫vdp.m如下：

function fy=vdp(t,x)

fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];

再編寫m文件sy12_6.m如下：

y0=[1;0]

[t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0);

y=x(:,1);dy=x(:,2);

plot(t,y,t,dy)

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三、實驗內容

1．利用MATLAB求常微分方程的初值問題，的解。

2．利用MATLAB求常微分方程的初值問題，，的解。

3．利用MATLAB求常微分方程的解。

4．利用MATLAB求常微分方程組的特解。

5．求解常微分方程，，，的特解，并做出解函數的曲線圖。

6．完成實驗報告。

總結

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