相角裕量、增益裕量是對自動控制領域的閉環系統而言，指的是保持系統穩定工作的前提下，相角或者增益還能增加的范圍。

我們知道，如果閉環系統傳統的傳遞函數的極點都在s右邊平面，那么系統是穩定的。為了研究相角(增益)裕量，需要從開環系統的角度研究閉環系統。如果開環傳遞函數是G(jw)，那么閉環傳遞函數是

G(jw)/(1+G(jw))。所以，能從開環傳遞函數G(jw)的特性來研究閉環系統的穩定性。

如果當某個頻率w時，開環傳遞函數G(jw)=-1，那么閉環系統是不穩定的(臨界穩定)；若開環傳遞函數G(jw)(也可認為是G(S))沒有極點在s右半平面，則定義為開環系統穩定)。

通過開環系統的穩定性來判斷閉環系統的穩定性，用到奈奎斯特判據，其含有兩條，敘述如下：

奈奎斯特穩定性判據a：若開環系統穩定，則閉環系統穩定的條件是G(jw)在復平面上的軌跡不包圍(-1，j0)點。

注：從“‘G(jw)/(1+G(jw))’極點都在左平面則閉環系統穩定”的原理出發，通過一個稍復雜的復變函數引理，推導出奈奎斯特判據a。

“G(jw)在S平面上的軌跡”，指當頻率w從0變到正無窮時，G(jw)值在復平面上形成的曲線，這叫做奈奎斯特圖。

奈奎斯特穩定性判據b：若開環系統不穩定(假設G(jw)有n個極點在右平面)，則閉環系統穩定的條件是G(jw)軌跡逆時針方向包圍(-1，j0)點恰為n次。

實際中，在開環增益K為某固定值時，畫出奈奎斯特圖來判斷系統是否穩定，當開環增益K取另一個固定值時，再畫出奈奎斯特圖來判斷穩定性。由此類推，得到一簇奈奎斯特曲線。由此看出隨著開環增益K的變化時，穩定性裕量的變化。

穩定性裕量(即相對穩定性，也即目前的穩定狀態離臨界穩定狀態有多遠)在可在奈奎斯特圖中定量分析，即奈奎斯特圖與臨界穩定點(-1，j0)越近，穩定裕量越小。在奈奎斯特圖上定義了相角裕量和增益裕量來衡量相對穩定性。定義如下：

增益(即開環增益K)裕量：指增益的最大值，此時系統處于臨界穩定。臨界穩定時，奈奎斯特圖過(-1，j0)點。

增益裕量的另一定義：若G(jw)在復平面上與負實軸相交，此時幅值記為A(肯定小于1)，則，增益裕量定義為(1/A)。注:'1'對應于臨界點(-1，j0)的幅值。

相角裕量：若奈奎斯特曲線繞原點(順時針)旋轉達到與點(-1，j0)相遇所需要的相移量。注：即奈奎斯特曲線與單位圓的交點與(-1，j0)相遇。

增益裕量h的物理意義是：若開環增益增加h倍，則系統恰好處于臨界穩定。

相角裕量gama(希臘字母,呵呵)的物理意義是：系統工作于截止頻率(幅值增益為1時的頻率)時，若相角再滯后gama，則系統臨界不穩定。

可以看出，由奈奎斯特圖測定穩態裕量是很麻煩的。并且，高階系統的奈奎斯特圖是畫起來很費力。出于簡介分析穩定性裕量的需要，從奈奎斯特圖發展出對數頻率特性圖(伯德bode圖)來分析穩定性。

bode

圖是關于開環系統幅頻特性或者相頻特性。橫坐標是頻率w，縱坐標為開環系統的幅度或者相位。(縱橫坐標都是對數分度，此細節問題不展開)。同一個系統的的bode圖和奈奎斯特圖是一一對應的，即前圖曲線上的點和后圖曲線上的點是一一對應的。尤其地，有以下對應關系：

a、奈奎斯特圖上以原點為中心的單位圓對應于bode圖上的0dB線。

b、奈奎斯特圖上的負實軸對應bode圖相頻圖上的-180°線。

由奈奎斯特圖中兩個裕量的定義容易推出bode圖中相應的定義。相角裕量是幅頻特性為0dB時對應的相位值與-180的差。增益裕量是幅頻特性為-180°時的幅度值的絕對值。

具體求法：

首先，在一張紙的畫出兩幅圖：上方幅頻特性，下方相頻相頻。兩圖的橫坐標對齊。找相位裕量的方法：找出幅頻特性曲線與0DB的交點，得到此時的頻率w值，然后在相頻曲線上找出頻率w的對應點，求出此時相位，記為alfa(希臘字母，呵呵)，則alfa-(-180°)即為相角裕量。

同理求增益裕量。

單獨考慮一個裕量參數，可能不會觀察到關于系統的相對穩定性的全部信息。往往需要綜合考慮兩個裕量。工程設計中：一般取相位裕量為30°到60°，增益裕量大于2倍，即大于6dB。

最后加兩句廢話，經典自動控制系統分析是基于復變函數理論。例如對于開環增益G(jw)(G(S))是復函數，即自變量和因變量都是復數。復函數不能像實函數那樣在一個平面內，同時有自變量和因變量。在圖形上展示復函數G(S)的性質，稍復雜，在不同的場合用到不同的平面，即S平面和G(S)平面。s平面的橫軸是自變量s的實部，縱軸是s的虛部。G(s)平面的橫軸是因變量G(s)的實部，縱軸是G(s)的虛部。上文的奈奎斯特曲線是在G(S)平面上。相反，根軌跡法繪出的曲線是在s平面。

總結

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