• 一維信號的傅里葉變換：fft(t)

• 二維圖像的傅里葉變換：fft2(t)

  fft2(x) ? fft(fft(x)’)’

0. 基礎

f(t)=∑k=?∞∞αkeikt

1. frequency spectrum（頻譜）分析

圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度（導數）的指標，是灰度在平面空間上的梯度。

大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。

傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設 f 是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示 f 的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。

通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖（fft2），也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多（0是黑色，1是白色），那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。

對頻譜移頻到原點（fftshift）以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。

另外關于圖像的二維傅里葉變換：

• 1、圖像經過二維傅立葉變換后，其變換系數矩陣表明：

  若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近(圖中陰影區)。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區域。

• 2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。

轉載于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9422796.html

總結

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